【回归算法】广义线性模型（GLM）详解

DeepModel2026-02-23 9:30

广义线性模型（GLM）详解

前言

回归算法是机器学习中预测连续数值 的核心工具，比如预测房价、气温、产品销量等，而线性回归 是最基础的回归模型，核心用线性公式 y=ax+by=ax+by=ax+b 描述输入和输出的关系。

但现实场景的预测问题远更复杂：

  • 想预测某人患病的概率（0~1之间的数值）
  • 想预测商店一天卖出汉堡的个数（非负整数）
  • 想预测医疗费用（非负、右偏的连续值）

这些场景中，输出不再是简单的线性连续值，普通线性回归无法处理，而广义线性模型（Generalized Linear Model, GLM） 作为线性回归的通用扩展形式，完美解决了这类问题，是本科、研究生阶段必学的经典统计建模方法。

本文将从核心概念、数学原理、算法流程、实战案例、算法对比五个维度，用通俗易懂的语言讲解GLM，同时附带可直接运行的Python代码。

一、广义线性模型（GLM）核心认知

1. GLM的核心定义

GLM是对普通线性回归 的扩展，打破了线性回归的两大限制，使其能处理输出非连续、输入输出非线性 的预测问题，核心思想是：通过「链接函数」将线性预测结果与不同分布类型的输出变量关联起来。

2. GLM相比线性回归的「广义」之处

普通线性回归的两个强约束：

  1. 输出变量y必须是连续数值，且服从正态分布；
  2. 输入和输出之间必须是直接的线性关系。

GLM对这两个约束做了松绑：

  1. 输出类型无限制 ：输出可以是概率（0~1）、整数计数、非负右偏值等，只需满足指数分布族即可；
  2. 引入链接函数 ：不直接让输入的线性组合作为输出，而是通过链接函数对线性结果做变换，适配输出变量的分布特性。

3. GLM的两个经典应用案例

GLM的具体形式由输出分布 和链接函数决定，以下两个是本科/研究生阶段最常接触的GLM特例，也是工业界的常用模型：

（1）逻辑回归（Logistic Regression）
  • 适用场景：二分类问题（预测结果为0/1，如是否购买、是否患病）
  • 输出：0~1之间的概率值
  • 输出分布：伯努利分布（0-1分布）
  • 链接函数：logit函数（S型曲线，将线性结果映射到0~1区间）
  • 注意 ：虽然名字带「回归」，但本质是分类算法，属于GLM的特例。
（2）泊松回归（Poisson Regression）
  • 适用场景：计数型预测问题（输出为非负整数，如一分钟电话呼入次数、每天商品销量）
  • 输出：非负整数
  • 输出分布：泊松分布
  • 链接函数：对数函数（log），避免预测结果为负数。

二、GLM的数学原理（本科/研究生易懂版）

GLM的数学模型由三大部分组成，这是理解GLM的核心，也是本科/研究生课程的考点，三个部分相互关联，缺一不可。

1. GLM的三大核心组件

（1）随机成分（Random Component）
  • 含义：响应变量（因变量）YYY的概率分布；
  • 核心要求：YYY必须属于指数分布族（这是GLM的基本前提）；
  • 作用：明确输出变量的分布特性，让模型贴合实际数据的规律。
（2）系统成分（Systematic Component）
  • 含义：自变量（特征）的线性组合 ，也叫线性预测函数；
  • 数学形式：η=β0+β1x1+β2x2+⋯+βpxp=xTβ\eta=\beta_{0}+\beta_{1} x_{1}+\beta_{2} x_{2}+\cdots+\beta_{p} x_{p}=x^{T} \betaη=β0+β1x1+β2x2+⋯+βpxp=xTβ
  • 符号说明：
    • η\etaη：线性预测值（并非模型最终输出，需经链接函数变换）；
    • xxx：输入特征向量（含所有自变量）；
    • β\betaβ：待学习的权重参数向量（模型需要求解的核心）；
  • 作用：保留线性模型的简洁性和可解释性，这是GLM相比纯非线性模型的优势。
  • 含义：连接线性预测值η\etaη和响应变量的期望值μ=E[Y]\mu=E[Y]μ=E[Y]的函数；
  • 数学形式：g(μ)=η⇔μ=g−1(η)g(\mu)=\eta \Leftrightarrow \mu=g^{-1}(\eta)g(μ)=η⇔μ=g−1(η)
  • 符号说明：
    • g(⋅)g(\cdot)g(⋅)：链接函数（正向变换，将输出期望映射为线性值）；
    • g−1(⋅)g^{-1}(\cdot)g−1(⋅)：链接函数的逆函数（反向变换，将线性值映射为符合输出分布的期望）；
  • 作用：架起线性预测和非线输出的桥梁，让线性模型能适配不同分布的输出变量。

2. GLM的整体数学形式

将三大组件结合，GLM的完整数学表达为：
Y∼指数分布族,g(E[Y])=xTβY \sim \text{指数分布族}, \quad g(E[Y])=x^T\betaY∼指数分布族,g(E[Y])=xTβ

一句话总结：响应变量服从指数分布族，且其期望值的链接函数等于自变量的线性组合。

3. 指数分布族（Exponential Family）

GLM对输出分布的唯一要求是「属于指数分布族」，其通用数学形式 为：
fY(y;θ,ϕ)=exp(yθ−b(θ)ϕ+c(y,ϕ))f_{Y}(y ; \theta, \phi)=exp \left(\frac{y \theta-b(\theta)}{\phi}+c(y, \phi)\right)fY(y;θ,ϕ)=exp(ϕyθ−b(θ)+c(y,ϕ))

  • 符号说明：
    • θ\thetaθ：自然参数（核心参数，与输出期望μ\muμ一一对应）；
    • ϕ\phiϕ：尺度参数（如方差、标准差的平方，用于控制分布的离散程度）；
    • b(θ)b(\theta)b(θ)：规范函数（保证分布的正则性，即概率和为1/积分值为1）；
    • c(y,ϕ)c(y, \phi)c(y,ϕ)：仅与(y)和(\phi)相关的函数，与核心参数(\theta)无关。
本科/研究生必记的4类指数分布族（附链接函数）

这4类是GLM最常用的分布，对应不同的业务场景，直接整理为表格，方便记忆和使用：

分布类型 链接函数g(μ)g(\mu)g(μ) 对应GLM模型 适用场景
正态分布 恒等函数g(μ)=μg(\mu)=\mug(μ)=μ 普通线性回归 输出为连续正态分布（如身高、体重）
伯努利分布 Logit函数g(μ)=ln(μ1−μ)g(\mu)=ln(\frac{\mu}{1-\mu})g(μ)=ln(1−μμ) 逻辑回归 二分类问题（输出0/1概率）
泊松分布 对数函数g(μ)=ln(μ)g(\mu)=ln(\mu)g(μ)=ln(μ) 泊松回归 计数型预测（输出非负整数）
伽马分布 倒数函数g(μ)=1μg(\mu)=\frac{1}{\mu}g(μ)=μ1 伽马回归 非负右偏连续值（如医疗费用、索赔金额）

4. GLM的参数求解：极大似然估计（MLE）

GLM的参数β\betaβ通过极大似然估计 （Maximum Likelihood Estimation, MLE）求解，核心思想是：找到一组参数β\betaβ，让观测到当前数据的概率最大。

（1）似然函数与对数似然函数

给定n个独立样本(xi,yi)(x_i, y_i)(xi,yi)，且yiy_iyi服从指数分布族，则联合似然函数 为：
L(β)=∏i=1nf(yi;θi,ϕ)L(\beta)=\prod_{i=1}^{n} f\left(y_{i} ; \theta_{i}, \phi\right)L(β)=∏i=1nf(yi;θi,ϕ)

由于连乘计算复杂，取对数转化为对数似然函数 （连乘变连加，不改变极值点）：
ℓ(β)=∑i=1n[yiθi−b(θi)ϕ+c(yi,ϕ)]\ell(\beta)=\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{y_{i} \theta_{i}-b\left(\theta_{i}\right)}{\phi}+c\left(y_{i}, \phi\right)\right]ℓ(β)=∑i=1n[ϕyiθi−b(θi)+c(yi,ϕ)]

关键关联 ：θi\theta_iθi（自然参数）是μi=E[Yi]\mu_i=E[Y_i]μi=E[Yi]的函数，而μi=g−1(ηi)\mu_i=g^{-1}(\eta_i)μi=g−1(ηi)，ηi=xiTβ\eta_i=x_i^T\betaηi=xiTβ，因此对数似然函数最终是参数(\beta)的函数。

（2）求解思路：迭代加权最小二乘法（IRLS）

对对数似然函数求导并令其为0，可得到参数β\betaβ的解析解，但多数情况下（如逻辑回归、泊松回归）解析解难以直接求解，因此GLM通常使用迭代加权最小二乘法（Iteratively Reweighted Least Squares, IRLS） 进行数值逼近求解，这是本科/研究生需要理解的核心算法流程。

三、GLM的核心算法流程：IRLS迭代加权最小二乘法

IRLS的核心思想是：将非线性的GLM求解问题，转化为一系列加权线性回归的迭代问题 ，通过不断迭代更新参数β\betaβ，直到参数收敛（前后变化极小）。

以下是IRLS的详细步骤，步骤清晰且可落地，适配本科/研究生的理解难度：

步骤1：参数初始化

设定参数β\betaβ的初始值β(0)\beta^{(0)}β(0)，一般设为全0向量（简单且易收敛）。

步骤2：计算各类中间变量

对每个样本iii，依次计算以下变量（核心是「工作变量」和「加权矩阵」）：

  1. 线性预测值：ηi=xiTβ\eta_{i}=x_{i}^{T} \betaηi=xiTβ
  2. 输出期望：μi=g−1(ηi)\mu_{i}=g^{-1}(\eta_{i})μi=g−1(ηi)（链接函数的逆变换）
  3. 工作变量（伪响应变量）：zi=ηi+yi−μidμidηiz_{i}=\eta_{i}+\frac{y_{i}-\mu_{i}}{\frac{d \mu_{i}}{d \eta_{i}}}zi=ηi+dηidμiyi−μi
    （dμidηi\frac{d \mu_{i}}{d \eta_{i}}dηidμi是μi\mu_iμi对ηi\eta_iηi的一阶导数，由链接函数决定）
  4. 权重系数：Wi=(dμidηi)2/Var(Yi)W_{i}=(\frac{d \mu_{i}}{d \eta_{i}})^{2} / Var(Y_{i})Wi=(dηidμi)2/Var(Yi)
    （Var(Yi)Var(Y_i)Var(Yi)是响应变量的方差，由其分布决定）
  5. 加权矩阵W：对角矩阵 ，主对角线元素为每个样本的WiW_iWi，非对角线元素为0。

步骤3：拟合加权最小二乘，更新参数

用加权最小二乘法求解新的参数β(t+1)\beta^{(t+1)}β(t+1)，更新公式为：
β(t+1)=(XTWX)−1XTWz\beta^{(t+1)}=\left(X^{T} W X\right)^{-1} X^{T} W zβ(t+1)=(XTWX)−1XTWz

  • 符号说明：
    • X：设计矩阵（每行对应一个样本的特征向量）；
    • z：工作变量向量（由所有样本的(z_i)组成）；
    • W：步骤2得到的加权对角矩阵。

步骤4：迭代收敛

重复步骤2~步骤3 ，直到参数β\betaβ满足收敛条件 （如前后两次参数的差值的绝对值小于阈值10−610^{-6}10−6），此时的β\betaβ即为GLM的最优参数。

四、GLM实战案例：预测医疗保险费用（Python可直接运行）

案例背景

某保险公司希望根据被保险人的年龄、性别、BMI、是否吸烟、子女数、居住地区 等特征，预测其年度医疗保险费用。

  • 问题难点：医疗费用是非负、右偏的连续值 ，不满足普通线性回归的正态分布假设，因此选用GLM（伽马分布+对数链接函数）建模；
  • 数据集：经典的Medical Cost Personal Dataset（开源可直接读取）；
  • 工具：Python + pandas + statsmodels（统计建模专用，适合GLM实现）+ seaborn（可视化）。

完整代码（CSDN可直接复制，注释详细）

python 复制代码 
# 导入所需库
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import statsmodels.api as sm
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

# 全局设置：解决中文显示问题 + 可视化风格
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 中文显示
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False    # 负号显示
sns.set_style('whitegrid')
sns.set_palette("Set1")

# 1. 读取开源数据集（无需本地文件，直接在线读取）
df = pd.read_csv("https://raw.githubusercontent.com/stedy/Machine-Learning-with-R-datasets/master/insurance.csv")

# 2. 数据预览与基本信息
print("数据集前5行：")
print(df.head())
print("\n数据集基本信息：")
print(df.info())
print("\n数据集描述性统计：")
print(df.describe())

# 3. 数据预处理
# 3.1 类别变量独热编码（sex/smoker/region），drop_first=True避免多重共线性
df_encoded = pd.get_dummies(df, drop_first=True)
# 3.2 划分特征（X）和目标变量（y）
X = df_encoded.drop("charges", axis=1)  # charges：年度医疗费用（目标）
y = df_encoded["charges"]
# 3.3 划分训练集（80%）和测试集（20%）
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)
# 3.4 特征标准化（提高GLM训练的稳定性，避免量纲影响）
scaler = StandardScaler()
X_train_scaled = scaler.fit_transform(X_train)
X_test_scaled = scaler.transform(X_test)

# 4. 构建GLM模型：伽马分布 + 对数链接函数（适配非负右偏的医疗费用）
# 4.1 为训练集添加常数项（statsmodels建模需要）
X_train_const = sm.add_constant(X_train_scaled)
# 4.2 定义GLM模型
glm_gamma = sm.GLM(
    endog=y_train,          # 目标变量
    exog=X_train_const,     # 特征（含常数项）
    family=sm.families.Gamma(link=sm.families.links.log())  # 分布+链接函数
)
# 4.3 训练模型（IRLS算法自动求解）
result = glm_gamma.fit()
# 4.4 输出模型结果摘要（含参数、显著性、拟合指标）
print("\nGLM模型训练结果摘要：")
print(result.summary())

# 5. 模型预测
X_test_const = sm.add_constant(X_test_scaled)  # 测试集添加常数项
y_pred = result.predict(X_test_const)          # 预测医疗费用
# 输出测试集前10个真实值和预测值
pred_df = pd.DataFrame({"真实值": y_test.values[:10], "预测值": y_pred[:10].round(2)})
print("\n测试集前10个真实值vs预测值：")
print(pred_df)

# 6. 数据可视化分析（核心规律）
# 6.1 不同性别+吸烟状态的医疗费用分布
plt.figure(figsize=(8, 5))
sns.boxplot(data=df, x="sex", y="charges", hue="smoker")
plt.title("不同性别&吸烟状态的医疗费用分布", fontsize=14)
plt.xlabel("性别", fontsize=12)
plt.ylabel("年度医疗费用（美元）", fontsize=12)
plt.legend(title="是否吸烟")
plt.tight_layout()
plt.show()

# 6.2 年龄与医疗费用的关系（含吸烟标记）
plt.figure(figsize=(10, 6))
sns.scatterplot(data=df, x="age", y="charges", hue="smoker", alpha=0.6, s=50)
sns.lineplot(data=df, x="age", y="charges", color="red", linewidth=2, label="整体趋势线")
plt.title("年龄与医疗费用的关系（吸烟/非吸烟）", fontsize=14)
plt.xlabel("年龄", fontsize=12)
plt.ylabel("年度医疗费用（美元）", fontsize=12)
plt.legend(title="是否吸烟")
plt.tight_layout()
plt.show()

# 6.3 真实值vs预测值散点图（评估模型拟合效果）
plt.figure(figsize=(8, 8))
sns.scatterplot(x=y_test, y=y_pred, alpha=0.6, s=50)
# 绘制对角线（完美预测线）
plt.plot([y_test.min(), y_test.max()], [y_test.min(), y_test.max()], 'r--', linewidth=2, label="完美预测线")
plt.title("GLM模型：真实值vs预测值", fontsize=14)
plt.xlabel("真实医疗费用（美元）", fontsize=12)
plt.ylabel("预测医疗费用（美元）", fontsize=12)
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

案例核心结果分析（本科/研究生重点理解）

  1. 模型拟合 ：伽马分布+对数链接函数的GLM能很好地拟合非负右偏的医疗费用，参数摘要中P值（P>|z|）小于0.05的特征为显著特征（如是否吸烟、年龄、BMI）；
  2. 数据规律 ：
    • 吸烟是医疗费用的最核心影响因素，吸烟者的费用远高于非吸烟者；
    • 年龄与医疗费用呈正相关，且吸烟者的费用随年龄呈指数上升；
    • 性别对医疗费用的影响不显著，男女费用差异极小；
  3. 预测效果：真实值vs预测值的散点图越靠近对角线，说明模型拟合效果越好，GLM在该场景下的预测效果远优于普通线性回归。

五、GLM的优缺点（本科/研究生必记）

GLM作为经典的统计建模方法，优势和局限性都非常明确，适合在解释性优先、数据分布明确的场景下使用，以下整理为清晰的表格，方便记忆：

优点

优点 详细说明
适配非正态输出变量 打破线性回归的正态分布限制，支持指数分布族的所有分布（伯努利、泊松、伽马等）
链接函数灵活建模非线性 无需手动对特征做非线性变换，通过链接函数即可捕捉输入输出的非线性关系，同时保留线性模型的可解释性
模型可解释性极强 参数β\betaβ有明确的物理意义，可直接解释每个特征对输出的影响方向和强度（如吸烟使医疗费用增加XX倍）
训练高效、收敛稳定 基于IRLS算法求解，在中小型数据集上训练速度极快，且参数收敛性好，不易震荡
鲁棒性优于线性回归 对异常值的敏感度低于普通最小二乘（OLS）线性回归，尤其在伽马/泊松分布下更稳健

缺点

缺点 详细说明
本质仍是线性模型 仅能建模「链接函数下的线性关系」，无法自动捕捉特征间的复杂非线性交互（如吸烟×BMI×年龄的联合影响）
高度依赖分布假设 若输出变量不服从预设的指数分布族，模型拟合效果会大幅下降，预测偏差大
特征预处理要求高 类别变量需独热编码，连续变量需标准化/归一化，无法像树模型那样自动处理特征
需手动添加交互项/高阶项 若想建模复杂关系，必须手动构造特征交互项、多项式项，增加了模型设计的复杂度
对极端异常值仍敏感 虽优于线性回归，但仍会受少数极端值影响，尤其在数据量小、分布极度不平衡时

六、GLM与主流回归算法的对比（本科/研究生选型参考）

为了方便大家在实际场景中选择合适的回归算法 ，将GLM与本科/研究生阶段必学的线性回归、XGBoost/GBDT、随机森林、神经网络 从10个核心维度做对比，整理为表格，清晰直观：

对比维度 广义线性模型（GLM） 线性回归（OLS） XGBoost/GBDT 随机森林回归 神经网络回归（MLP）
支持非正态输出变量 ✅ 是（指数分布族） ❌ 否（仅正态） ✅ 是 ✅ 是 ✅ 是
显式建模输出分布 ✅ 是 ❌ 否 ❌ 否 ❌ 否 ❌ 否
模型可解释性 ⭐⭐⭐ 强 ⭐⭐⭐ 强 ⭐ 弱 ⭐ 弱 ⭐ 弱（黑箱）
建模非线性关系能力 ⭐⭐ 中等（链接函数） ⭐ 弱（仅线性） ⭐⭐⭐ 强（自动） ⭐⭐⭐ 强（自动） ⭐⭐⭐ 强（自动）
对缺失值的容忍度 ❌ 弱（需提前处理） ❌ 弱（需提前处理） ✅ 强（自动处理） ✅ 强（自动处理） ❌ 弱（需提前处理）
类别变量处理方式 需独热编码 需独热编码 可直接处理 可直接处理 需编码/嵌入层
支持非负输出变量 ✅ 是（如伽马/泊松） ❌ 否（可能预测负数） ✅ 是 ✅ 是 ✅ 是（激活函数）
对异常值的鲁棒性 ⭐⭐ 一般 ⭐ 差 ⭐⭐⭐ 好 ⭐⭐⭐ 好 ⭐ 差
模型训练速度 ⭐⭐⭐ 快（IRLS） ⭐⭐⭐ 非常快 ⭐⭐ 中等偏慢 ⭐⭐ 中等偏慢 ⭐ 慢（尤其深层）
调参复杂度 ⭐ 简单（仅分布+链接函数） ⭐ 简单（无调参） ⭐⭐⭐ 高（多超参数） ⭐⭐⭐ 高（多超参数） ⭐⭐⭐ 高（层数/神经元等）

算法选型核心原则（本科/研究生必懂）

优先选择GLM的场景
  1. 输出分布明确：如医疗费用（伽马）、二分类概率（伯努利）、计数数据（泊松）等；
  2. 解释性优先：医疗、保险、金融、政策分析等领域，要求模型透明、参数可解释；
  3. 中小型数据集：数据量小、特征维度低，且变量间线性结构明显；
  4. 快速原型设计：需要快速训练模型、验证业务规律，无需极致的预测精度。
考虑其他算法的场景
  1. 变量关系复杂：特征间存在强非线性、多阶交互，如用户行为数据、图像特征；
  2. 精度优先，解释性可放弃：如Kaggle比赛、电商推荐、精准营销等；
  3. 高维/稀疏/多类别特征：如文本数据、地理编码、用户标签等，树模型/神经网络更友好；
  4. 输出分布极复杂：目标变量无明确分布（多峰、长尾、不规则），GLM无法精准建模。

七、核心总结（本科/研究生必背考点）

  1. 广义线性模型（GLM）是普通线性回归的通用扩展 ，核心是通过链接函数连接线性预测值和指数分布族的输出变量；
  2. GLM由随机成分（指数分布族）、系统成分（线性组合）、链接函数 三部分组成，整体形式为g(E[Y])=xTβg(E[Y])=x^T\betag(E[Y])=xTβ；
  3. 本科/研究生必记的GLM特例：逻辑回归（伯努利+Logit）、泊松回归（泊松+对数）、伽马回归（伽马+倒数）；
  4. GLM的参数通过极大似然估计（MLE）求解，实际中使用迭代加权最小二乘法（IRLS）进行数值逼近；
  5. GLM的核心优势是可解释性强、适配非正态分布、训练高效 ，核心局限性是本质线性、依赖分布假设、预处理要求高；
  6. GLM适合解释性优先、输出分布明确、中小型数据集的场景，若追求极致精度或处理复杂数据，优先选择XGBoost、神经网络等模型。
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