基于控制障碍函数（CBF）的多无人机编队避障路径规划研究，MATLAB代码

摘要

多无人机编队协同作业在巡检、侦察、应急救援等领域具有广泛应用前景，但其安全运行面临机间避碰、环境障碍规避、编队保持与实时响应等多重挑战。传统路径规划方法存在实时性差、安全约束难以严格保障、分布式协同能力不足等问题。针对上述问题，本文开展基于控制障碍函数（Control Barrier Function, CBF）的多无人机编队避障路径规划研究，核心是将各类安全约束转化为可计算的数学条件，结合二次规划（Quadratic Programming, QP）实现最小干预式控制，在保障系统安全的前提下完成编队任务。本文首先阐述CBF基础理论与多无人机编队动力学建模，随后设计分布式CBF-QP控制框架，整合机间避碰、环境避障、编队保持及执行器饱和等约束，提出改进策略提升系统鲁棒性与机动性；通过仿真实验验证所提方法在静态、动态障碍场景下的有效性，对比传统方法验证其在实时性、安全性与编队稳定性上的优势。研究结果表明，所提方法能够实现多无人机编队的实时安全避障与稳定编队保持，具备较强的抗扰动能力与分布式协同性能，为多无人机集群的工程化应用提供理论支撑与技术参考。

关键词：多无人机编队；控制障碍函数；避障路径规划；二次规划；分布式协同控制

1 绪论

1.1 研究背景与意义

随着无人机技术、通信技术与控制技术的快速发展，多无人机编队协同作业逐渐替代单无人机，成为复杂场景下作业的首选方案。多无人机通过编队协同，能够实现单无人机难以完成的大规模、高精度任务，如电力巡检、城市安防、灾后搜救、农业植保等。然而，多无人机编队在运行过程中，需同时满足多重约束：一是机间避碰约束，避免无人机之间发生碰撞；二是环境避障约束，规避飞行区域内的静态障碍（如建筑物、山体）与动态障碍（如鸟类、其他飞行器）；三是编队保持约束，维持预设的编队几何形态，确保协同作业精度；四是执行器饱和约束，保证控制输入在无人机物理性能范围内。

当前多无人机编队避障路径规划方法仍存在诸多不足：传统全局规划方法（如A*、RRT*）虽能生成最优路径，但实时性差，难以适应动态环境与在线闭环控制需求；人工势场法易陷入局部最优、产生控制震颤，且难以处理多约束耦合问题；模型预测控制（MPC）虽能兼顾多约束，但计算复杂度随无人机数量指数增长，无法满足大规模集群的实时控制需求；行为规则法鲁棒性不足，缺乏严格的数学安全保障。

控制障碍函数（CBF）基于不变集理论，能够将安全约束转化为线性或非线性不等式约束，结合二次规划可实现最小干预式控制，具备安全可证、计算高效、约束灵活等优势，为解决多无人机编队避障问题提供了新的技术路径。开展基于CBF的多无人机编队避障路径规划研究，不仅能够完善多无人机协同控制的理论体系，还能提升编队作业的安全性与可靠性，推动多无人机集群在复杂场景中的工程化应用，具有重要的理论意义与实际应用价值。

1.2 国内外研究现状

1.2.1 多无人机编队避障路径规划研究现状

多无人机编队避障路径规划的核心是在满足多重约束的前提下，为每个无人机规划安全、高效的飞行路径，同时维持编队一致性。目前，相关研究主要分为三类：全局路径规划、局部路径规划与分布式路径规划。

全局路径规划基于环境先验信息，生成全局最优路径，典型方法包括A*算法、Dijkstra算法、RRT*算法及其改进版本。这类方法能够保证路径的全局最优性，但对环境动态变化的适应性差，实时性不足，难以应对突发障碍。局部路径规划无需环境先验信息，通过传感器实时感知环境，动态调整路径，典型方法有人工势场法、滑动窗口法、模型预测控制等。人工势场法结构简单、计算量小，但易陷入局部最优，且在障碍物密集区域易产生震颤；模型预测控制能够兼顾多约束与路径优化，但计算复杂度高，实时性难以满足大规模集群需求。

分布式路径规划基于多智能体协同理论，每个无人机仅需获取邻居节点信息，通过局部交互实现全局编队避障，适配大规模集群应用。近年来，分布式一致性控制、分布式优化等方法被广泛应用于多无人机编队避障，但其安全约束的严格性与实时性仍需提升。

1.2.2 控制障碍函数（CBF）研究现状

CBF由Ames等人于2014年提出，最初用于单智能体的安全控制，其核心思想是通过构造障碍函数定义安全集，利用李导数推导安全约束条件，确保系统状态始终处于安全集内。随着研究的深入，CBF被拓展到多智能体协同控制领域，成为多智能体安全避障的核心技术之一。

目前，CBF在多无人机领域的研究主要集中在三个方面：一是CBF的构造方法，针对机间避碰、环境避障、编队保持等不同约束，设计适配多无人机动力学特性的障碍函数；二是CBF与优化算法的结合，将CBF约束转化为二次规划问题，求解满足安全约束的最优控制输入；三是改进CBF以提升系统性能，如高阶CBF（HOCBF）用于处理高阶动力学系统，图CBF（GCBF）用于大规模集群协同，鲁棒CBF用于处理外界扰动与模型不确定性。

国外研究起步较早，Ames团队提出了CBF-QP控制框架，实现了多无人机的安全避障与编队控制；MIT、斯坦福大学等机构进一步提出了分布式CBF、鲁棒CBF等改进方法，验证了其在大规模集群中的有效性。国内研究近年来发展迅速，高校与科研机构围绕CBF的构造、分布式协同、复杂环境适配等方面开展了大量研究，取得了一系列成果，但在动态障碍处理、保守性优化、硬件实飞验证等方面仍与国外存在差距。

1.3 研究内容与技术路线

1.3.1 研究内容

本文围绕基于CBF的多无人机编队避障路径规划展开研究，具体研究内容如下：

1. 多无人机编队动力学建模与安全约束分析。建立多无人机编队的仿射非线性动力学模型，明确机间避碰、环境避障、编队保持、执行器饱和等核心安全约束的数学表达，为后续CBF构造与控制框架设计奠定基础。

2. 多约束融合的CBF构造方法研究。针对不同安全约束，设计适配多无人机系统的CBF，包括机间避碰CBF、环境避障CBF、编队保持CBF与输入饱和CBF，推导各CBF的安全约束条件，实现多约束的统一建模。

3. 分布式CBF-QP编队避障控制框架设计。结合标称控制律与CBF安全约束，构建分布式二次规划优化问题，实现最小干预式控制，确保在满足所有安全约束的前提下，维持编队稳定性与路径跟踪性能；针对约束可行性问题，提出改进策略提升系统鲁棒性。

4. 仿真实验与性能验证。搭建多无人机编队避障仿真平台，设计静态障碍、动态障碍、大规模集群等不同场景，验证所提方法的有效性；与传统人工势场法、MPC方法进行对比，分析其在实时性、安全性、编队稳定性上的优势。

1.3.2 技术路线

本文的技术路线如下：首先，梳理多无人机编队避障与CBF的研究现状，明确研究难点与研究目标；其次，建立多无人机动力学模型，分析核心安全约束；然后，构造多约束融合的CBF，设计分布式CBF-QP控制框架并提出改进策略；接着，通过仿真实验验证所提方法的性能；最后，总结研究成果，分析现存问题，展望未来研究方向。技术路线图如图1所示（此处可插入技术路线图，仿真时补充）。

1.4 研究创新点

本文的创新点主要体现在以下三个方面：

1. 提出一种多约束融合的CBF构造方法，将机间避碰、环境避障、编队保持与输入饱和约束统一建模，解决传统方法约束耦合处理困难的问题，提升安全约束的全面性与严谨性。

2. 设计一种改进的分布式CBF-QP控制框架，引入可行性增强机制，解决分布式场景下邻居控制不可知导致的约束不可行问题，提升编队避障的成功率与鲁棒性。

3. 通过多场景仿真对比，验证所提方法在实时性、安全性与编队稳定性上的优势，为多无人机大规模集群的安全协同控制提供新的技术方案。

2 相关理论基础

2.1 多无人机编队动力学建模

2.1.1 单无人机动力学模型

本文以多旋翼无人机为研究对象，其运动可分为位置运动与姿态运动，考虑到编队控制的核心是位置跟踪与避障，采用简化的位置动力学模型，忽略姿态运动的耦合影响，建立仿射非线性系统模型：

x˙i=f(xi)+g(xi)ui\dot{x}_i = f(x_i) + g(x_i)u_ix˙i=f(xi)+g(xi)ui

其中，xi∈R3x_i \in \mathbb{R}^3xi∈R3 为第iii架无人机的位置状态向量，即xi=[xi1,xi2,xi3]Tx_i = [x_{i1}, x_{i2}, x_{i3}]^Txi=[xi1,xi2,xi3]T，分别表示无人机在三维空间中xxx、yyy、zzz轴的位置；ui∈R3u_i \in \mathbb{R}^3ui∈R3 为第iii架无人机的控制输入向量，对应三维空间中的加速度；f(xi)f(x_i)f(xi) 为系统标称动力学项，考虑重力与空气阻力，简化为f(xi)=[0,0,−g]Tf(x_i) = [0, 0, -g]^Tf(xi)=[0,0,−g]T（ggg为重力加速度）；g(xi)g(x_i)g(xi) 为控制输入矩阵，简化为单位矩阵I3×3I_{3\times3}I3×3。

该模型结构简单、计算高效，能够满足编队避障路径规划的实时性需求，同时保留了无人机位置运动的核心特性，适用于多无人机编队协同控制场景。

2.1.2 多无人机编队动力学模型

多无人机编队系统由NNN架无人机组成，定义编队系统的整体状态向量为X=[x1T,x2T,...,xNT]T∈R3NX = [x_1^T, x_2^T, \dots, x_N^T]^T \in \mathbb{R}^{3N}X=[x1T,x2T,...,xNT]T∈R3N，整体控制输入向量为U=[u1T,u2T,...,uNT]T∈R3NU = [u_1^T, u_2^T, \dots, u_N^T]^T \in \mathbb{R}^{3N}U=[u1T,u2T,...,uNT]T∈R3N。则多无人机编队的整体动力学模型可表示为：

X˙=F(X)+G(X)U\dot{X} = F(X) + G(X)UX˙=F(X)+G(X)U

其中，F(X)=[f(x1)T,f(x2)T,...,f(xN)T]TF(X) = [f(x_1)^T, f(x_2)^T, \dots, f(x_N)^T]^TF(X)=[f(x1)T,f(x2)T,...,f(xN)T]T，G(X)=diag(g(x1),g(x2),...,g(xN))G(X) = \text{diag}(g(x_1), g(x_2), \dots, g(x_N))G(X)=diag(g(x1),g(x2),...,g(xN)) 为块对角矩阵。

编队保持的核心是维持各无人机之间的相对位置关系，定义第iii架无人机与第jjj架无人机的相对位置向量为Δxij=xi−xj\Delta x_{ij} = x_i - x_jΔxij=xi−xj，期望相对位置向量为Δxijd\Delta x_{ij}^dΔxijd，则编队误差为eij=Δxij−Δxijde_{ij} = \Delta x_{ij} - \Delta x_{ij}^deij=Δxij−Δxijd，通过控制输入调整，使编队误差收敛至零，实现编队保持。

2.2 控制障碍函数（CBF）基础理论

2.2.1 CBF的核心定义

对于仿射非线性系统x˙=f(x)+g(x)u\dot{x} = f(x) + g(x)ux˙=f(x)+g(x)u，定义安全集C={x∈Rn∣h(x)≥0}\mathcal{C} = \{x \in \mathbb{R}^n | h(x) \ge 0\}C={x∈Rn∣h(x)≥0}，其中h(x):Rn→Rh(x): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}h(x):Rn→R 为连续可微函数，称为控制障碍函数（CBF），其核心作用是定义系统的安全边界，当系统状态x∈Cx \in \mathcal{C}x∈C时，系统处于安全状态；当h(x)=0h(x) = 0h(x)=0时，系统处于安全边界；当h(x)<0h(x) < 0h(x)<0时，系统处于危险状态。

为确保系统状态始终处于安全集内，CBF需满足以下安全条件：存在类K函数α(⋅)\alpha(\cdot)α(⋅)（即α(0)=0\alpha(0) = 0α(0)=0，且α(⋅)\alpha(\cdot)α(⋅)严格单调递增），使得对于所有x∈Cx \in \mathcal{C}x∈C，有：

Lfh(x)+Lgh(x)u+α(h(x))≥0L_f h(x) + L_g h(x)u + \alpha(h(x)) \ge 0Lfh(x)+Lgh(x)u+α(h(x))≥0

其中，Lfh(x)=∇h(x)⋅f(x)L_f h(x) = \nabla h(x) \cdot f(x)Lfh(x)=∇h(x)⋅f(x) 为h(x)h(x)h(x)关于f(x)f(x)f(x)的李导数，Lgh(x)=∇h(x)⋅g(x)L_g h(x) = \nabla h(x) \cdot g(x)Lgh(x)=∇h(x)⋅g(x) 为h(x)h(x)h(x)关于g(x)g(x)g(x)的李导数，∇h(x)\nabla h(x)∇h(x) 为h(x)h(x)h(x)的梯度。

该安全条件的物理意义是：系统状态在安全集内时，通过合理选择控制输入uuu，能够保证障碍函数h(x)h(x)h(x)的变化率非负，即系统状态不会从安全集内脱离，从而实现严格的安全保障。

2.2.2 CBF的分类与特性

根据系统相对阶的不同，CBF可分为一阶CBF与高阶CBF（HOCBF）。一阶CBF适用于相对阶为1的系统，其安全条件可直接转化为控制输入的线性约束；高阶CBF适用于相对阶大于1的系统（如固定翼无人机、带有姿态耦合的多旋翼无人机），通过引入高阶李导数，将安全约束转化为高阶线性约束，解决复杂动力学系统的安全控制问题。

CBF具有以下核心特性：

1. 安全可证：基于不变集理论，从数学上严格证明系统状态始终处于安全集内，能够有效避免碰撞等危险情况。

2. 最小干预：安全约束仅在系统接近安全边界时生效，对控制输入的修正最小，最大程度保留原有标称控制的意图，保证系统的机动性与控制性能。

3. 计算高效：安全约束可转化为凸二次规划问题，求解速度快，能够满足多无人机编队避障的实时性需求。

4. 约束灵活：可针对不同类型的安全约束（如避碰、编队保持、输入饱和）构造对应的CBF，实现多约束的统一建模与协同控制。

2.3 二次规划（QP）基础

二次规划是一类特殊的凸优化问题，其目标函数为二次函数，约束条件为线性等式或不等式约束，具有唯一最优解，且求解效率高，是CBF控制框架的核心优化工具。

标准二次规划问题的形式为：

min⁡u12uTPu+qTu\min_{u} \quad \frac{1}{2}u^T P u + q^T uminu21uTPu+qTu

s.t.Au≥b\text{s.t.} \quad A u \ge bs.t.Au≥b

Cu=d\quad \quad C u = dCu=d

其中，u∈Rmu \in \mathbb{R}^mu∈Rm 为优化变量（本文中为无人机控制输入）；P∈Rm×mP \in \mathbb{R}^{m \times m}P∈Rm×m 为对称半正定矩阵；q∈Rmq \in \mathbb{R}^mq∈Rm 为系数向量；A∈Rp×mA \in \mathbb{R}^{p \times m}A∈Rp×m、b∈Rpb \in \mathbb{R}^pb∈Rp 为不等式约束系数矩阵与向量；C∈Rq×mC \in \mathbb{R}^{q \times m}C∈Rq×m、d∈Rqd \in \mathbb{R}^qd∈Rq 为等式约束系数矩阵与向量。

在多无人机编队避障场景中，QP的目标函数通常设计为最小化控制输入与标称控制的偏差，约束条件为CBF推导的安全约束与执行器饱和约束，通过求解QP问题，可得到满足所有安全约束的最优控制输入。

2.4 分布式协同控制基础

多无人机编队的分布式协同控制核心是：每个无人机仅需获取自身状态与邻居无人机状态信息，通过局部交互实现全局编队目标，无需中心节点的统一控制，具备良好的扩展性与容错性。

采用图论描述多无人机编队的通信拓扑，定义通信拓扑图G=(V,E)\mathcal{G} = (\mathcal{V}, \mathcal{E})G=(V,E)，其中V={1,2,...,N}\mathcal{V} = \{1, 2, \dots, N\}V={1,2,...,N} 为节点集合（对应无人机），E⊆V×V\mathcal{E} \subseteq \mathcal{V} \times \mathcal{V}E⊆V×V 为边集合（对应无人机之间的通信链路）。若节点iii与节点jjj之间存在通信链路，则(i,j)∈E(i, j) \in \mathcal{E}(i,j)∈E，此时无人机iii可获取无人机jjj的状态信息。

定义邻接矩阵A=[aij]N×NA = [a_{ij}]{N \times N}A=[aij]N×N，其中aij=1a{ij} = 1aij=1 若(i,j)∈E(i, j) \in \mathcal{E}(i,j)∈E，否则aij=0a_{ij} = 0aij=0；定义度矩阵D=diag(d1,d2,...,dN)D = \text{diag}(d_1, d_2, \dots, d_N)D=diag(d1,d2,...,dN)，其中di=∑j=1Naijd_i = \sum_{j=1}^N a_{ij}di=∑j=1Naij 为节点iii的度；定义拉普拉斯矩阵L=D−AL = D - AL=D−A。当通信拓扑图为连通图时，拉普拉斯矩阵LLL具有唯一的零特征值，对应编队一致性状态，为分布式协同控制提供理论基础。

3 多约束融合的CBF构造方法

3.1 多无人机编队安全约束分析

多无人机编队避障路径规划需满足四类核心安全约束，各类约束的具体要求与数学表达如下：

1. 机间避碰约束 ：任意两架无人机之间的距离需大于安全距离dsafed_{\text{safe}}dsafe，避免机间碰撞。设第iii架无人机与第jjj架无人机的距离为dij=∥xi−xj∥d_{ij} = \|x_i - x_j\|dij=∥xi−xj∥，则机间避碰约束为dij≥dsafed_{ij} \ge d_{\text{safe}}dij≥dsafe。

2. 环境避障约束 ：无人机与环境中的静态障碍、动态障碍之间的距离需大于障碍安全裕度dobsd_{\text{obs}}dobs，避免与障碍碰撞。设第iii架无人机到障碍的最小距离为diOd_{iO}diO，则环境避障约束为diO≥dobsd_{iO} \ge d_{\text{obs}}diO≥dobs。

3. 编队保持约束 ：各无人机之间的相对位置需维持预设的编队几何形态，设期望相对位置向量为Δxijd\Delta x_{ij}^dΔxijd，则编队保持约束为∥xi−xj−Δxijd∥≤ϵ\|x_i - x_j - \Delta x_{ij}^d\| \le \epsilon∥xi−xj−Δxijd∥≤ϵ（ϵ\epsilonϵ为编队误差允许范围）。

4. 执行器饱和约束 ：无人机的控制输入（加速度）需在物理性能范围内，设控制输入的最小值为uminu_{\text{min}}umin，最大值为umaxu_{\text{max}}umax，则执行器饱和约束为umin≤ui≤umaxu_{\text{min}} \le u_i \le u_{\text{max}}umin≤ui≤umax。

上述约束相互耦合，传统方法难以实现统一建模与协同控制，本文通过构造不同类型的CBF，将各类约束转化为统一的数学条件，实现多约束融合的安全控制。

3.2 机间避碰CBF构造

机间避碰是多无人机编队安全运行的首要条件，针对机间避碰约束，构造机间避碰CBF，确保任意两架无人机之间的距离始终大于安全距离。

定义第iii架无人机与第jjj架无人机的机间避碰CBF为：

hij(x)=dij2−dsafe2=∥xi−xj∥2−dsafe2h_{ij}(x) = d_{ij}^2 - d_{\text{safe}}^2 = \|x_i - x_j\|^2 - d_{\text{safe}}^2hij(x)=dij2−dsafe2=∥xi−xj∥2−dsafe2

当hij(x)≥0h_{ij}(x) \ge 0hij(x)≥0时，dij≥dsafed_{ij} \ge d_{\text{safe}}dij≥dsafe，满足机间避碰约束；当hij(x)=0h_{ij}(x) = 0hij(x)=0时，无人机处于机间避碰安全边界；当hij(x)<0h_{ij}(x) < 0hij(x)<0时，存在机间碰撞风险。

对hij(x)h_{ij}(x)hij(x)求时间导数，结合无人机动力学模型，推导其李导数：

h˙ij(x)=2(xi−xj)T(x˙i−x˙j)=2(xi−xj)T[f(xi)−f(xj)+g(xi)ui−g(xj)uj]\dot{h}_{ij}(x) = 2(x_i - x_j)^T (\dot{x}_i - \dot{x}_j) = 2(x_i - x_j)^T [f(x_i) - f(x_j) + g(x_i)u_i - g(x_j)u_j]h˙ij(x)=2(xi−xj)T(x˙i−x˙j)=2(xi−xj)T[f(xi)−f(xj)+g(xi)ui−g(xj)uj]

代入f(xi)=[0,0,−g]Tf(x_i) = [0, 0, -g]^Tf(xi)=[0,0,−g]T、g(xi)=I3×3g(x_i) = I_{3\times3}g(xi)=I3×3，简化得：

h˙ij(x)=2(xi−xj)T(ui−uj)\dot{h}_{ij}(x) = 2(x_i - x_j)^T (u_i - u_j)h˙ij(x)=2(xi−xj)T(ui−uj)

根据CBF安全条件，存在类K函数αij(⋅)\alpha_{ij}(\cdot)αij(⋅)，使得：

2(xi−xj)T(ui−uj)+αij(hij(x))≥02(x_i - x_j)^T (u_i - u_j) + \alpha_{ij}(h_{ij}(x)) \ge 02(xi−xj)T(ui−uj)+αij(hij(x))≥0

为简化计算，选取αij(s)=kijs\alpha_{ij}(s) = k_{ij}sαij(s)=kijs（kij>0k_{ij} > 0kij>0为增益系数），则机间避碰安全约束转化为：

2(xi−xj)Tui−2(xi−xj)Tuj+kijhij(x)≥02(x_i - x_j)^T u_i - 2(x_i - x_j)^T u_j + k_{ij} h_{ij}(x) \ge 02(xi−xj)Tui−2(xi−xj)Tuj+kijhij(x)≥0

在分布式架构中，每个无人机仅需考虑与邻居无人机的避碰约束，因此第iii架无人机的机间避碰约束为所有邻居无人机j∈Nij \in \mathcal{N}_ij∈Ni（Ni\mathcal{N}_iNi为无人机iii的邻居集合）对应的约束之和。

3.3 环境避障CBF构造

环境障碍分为静态障碍与动态障碍，本文分别构造对应的环境避障CBF，实现复杂环境下的安全避障。

3.3.1 静态障碍避障CBF

静态障碍（如建筑物、山体）的位置固定，设静态障碍OOO的中心坐标为xOx_OxO，半径为rOr_OrO，定义第iii架无人机到静态障碍的最小距离为diO=∥xi−xO∥−rOd_{iO} = \|x_i - x_O\| - r_OdiO=∥xi−xO∥−rO，则静态障碍避障CBF为：

hiO(x)=diO−dobs=∥xi−xO∥−rO−dobsh_{iO}(x) = d_{iO} - d_{\text{obs}} = \|x_i - x_O\| - r_O - d_{\text{obs}}hiO(x)=diO−dobs=∥xi−xO∥−rO−dobs

当hiO(x)≥0h_{iO}(x) \ge 0hiO(x)≥0时，无人机与静态障碍的距离大于安全裕度，满足环境避障约束。

对hiO(x)h_{iO}(x)hiO(x)求时间导数，推导其李导数：

h˙iO(x)=(xi−xO)T∥xi−xO∥x˙i=(xi−xO)T∥xi−xO∥(f(xi)+ui)\dot{h}_{iO}(x) = \frac{(x_i - x_O)^T}{\|x_i - x_O\|} \dot{x}_i = \frac{(x_i - x_O)^T}{\|x_i - x_O\|} (f(x_i) + u_i)h˙iO(x)=∥xi−xO∥(xi−xO)Tx˙i=∥xi−xO∥(xi−xO)T(f(xi)+ui)

代入f(xi)=[0,0,−g]Tf(x_i) = [0, 0, -g]^Tf(xi)=[0,0,−g]T，结合CBF安全条件，选取类K函数αiO(s)=kiOs\alpha_{iO}(s) = k_{iO}sαiO(s)=kiOs（kiO>0k_{iO} > 0kiO>0），则静态障碍避障安全约束为：

(xi−xO)T∥xi−xO∥ui+(xi−xO)T∥xi−xO∥[0,0,−g]T+kiOhiO(x)≥0\frac{(x_i - x_O)^T}{\|x_i - x_O\|} u_i + \frac{(x_i - x_O)^T}{\|x_i - x_O\|} [0, 0, -g]^T + k_{iO} h_{iO}(x) \ge 0∥xi−xO∥(xi−xO)Tui+∥xi−xO∥(xi−xO)T[0,0,−g]T+kiOhiO(x)≥0

3.3.2 动态障碍避障CBF

动态障碍（如鸟类、其他飞行器）的位置随时间变化，设动态障碍OtO_tOt的位置状态为xOt(t)x_{O_t}(t)xOt(t)，速度为x˙Ot(t)\dot{x}{O_t}(t)x˙Ot(t)，半径为rOr_OrO，定义第iii架无人机到动态障碍的最小距离为diOt=∥xi−xOt(t)∥−rOd{iO_t} = \|x_i - x_{O_t}(t)\| - r_OdiOt=∥xi−xOt(t)∥−rO，则动态障碍避障CBF为：

hiOt(x,t)=diOt−dobs=∥xi−xOt(t)∥−rO−dobsh_{iO_t}(x, t) = d_{iO_t} - d_{\text{obs}} = \|x_i - x_{O_t}(t)\| - r_O - d_{\text{obs}}hiOt(x,t)=diOt−dobs=∥xi−xOt(t)∥−rO−dobs

对hiOt(x,t)h_{iO_t}(x, t)hiOt(x,t)求时间导数，考虑动态障碍的运动，推导其李导数：

h˙iOt(x,t)=(xi−xOt(t))T∥xi−xOt(t)∥(x˙i−x˙Ot(t))\dot{h}{iO_t}(x, t) = \frac{(x_i - x{O_t}(t))^T}{\|x_i - x_{O_t}(t)\|} (\dot{x}i - \dot{x}{O_t}(t))h˙iOt(x,t)=∥xi−xOt(t)∥(xi−xOt(t))T(x˙i−x˙Ot(t))

代入无人机动力学模型与动态障碍速度，结合CBF安全条件，选取类K函数αiOt(s)=kiOts\alpha_{iO_t}(s) = k_{iO_t}sαiOt(s)=kiOts（kiOt>0k_{iO_t} > 0kiOt>0），则动态障碍避障安全约束为：

(xi−xOt(t))T∥xi−xOt(t)∥ui+(xi−xOt(t))T∥xi−xOt(t)∥([0,0,−g]T−x˙Ot(t))+kiOthiOt(x,t)≥0\frac{(x_i - x_{O_t}(t))^T}{\|x_i - x_{O_t}(t)\|} u_i + \frac{(x_i - x_{O_t}(t))^T}{\|x_i - x_{O_t}(t)\|} ([0, 0, -g]^T - \dot{x}{O_t}(t)) + k{iO_t} h_{iO_t}(x, t) \ge 0∥xi−xOt(t)∥(xi−xOt(t))Tui+∥xi−xOt(t)∥(xi−xOt(t))T([0,0,−g]T−x˙Ot(t))+kiOthiOt(x,t)≥0

通过实时更新动态障碍的位置与速度，可实现动态障碍的实时避障。

3.4 编队保持CBF构造

编队保持的核心是维持各无人机之间的期望相对位置关系，针对编队保持约束，构造编队保持CBF，确保编队在避障过程中不溃散。

定义第iii架无人机与第jjj架无人机的编队保持CBF为：

hform,ij(x)=ϵ2−∥xi−xj−Δxijd∥2h_{\text{form}, ij}(x) = \epsilon^2 - \|x_i - x_j - \Delta x_{ij}^d\|^2hform,ij(x)=ϵ2−∥xi−xj−Δxijd∥2

其中，ϵ\epsilonϵ为编队误差允许范围，Δxijd\Delta x_{ij}^dΔxijd为期望相对位置向量。当hform,ij(x)≥0h_{\text{form}, ij}(x) \ge 0hform,ij(x)≥0时，编队误差在允许范围内，满足编队保持约束；当hform,ij(x)<0h_{\text{form}, ij}(x) < 0hform,ij(x)<0时，编队溃散，需通过控制输入调整。

对hform,ij(x)h_{\text{form}, ij}(x)hform,ij(x)求时间导数，推导其李导数：

h˙form,ij(x)=−2(xi−xj−Δxijd)T(x˙i−x˙j)\dot{h}{\text{form}, ij}(x) = -2(x_i - x_j - \Delta x{ij}^d)^T (\dot{x}_i - \dot{x}_j)h˙form,ij(x)=−2(xi−xj−Δxijd)T(x˙i−x˙j)

代入无人机动力学模型，结合CBF安全条件，选取类K函数αform,ij(s)=kform,ijs\alpha_{\text{form}, ij}(s) = k_{\text{form}, ij}sαform,ij(s)=kform,ijs（kform,ij>0k_{\text{form}, ij} > 0kform,ij>0），则编队保持安全约束为：

−2(xi−xj−Δxijd)T(ui−uj)+kform,ijhform,ij(x)≥0-2(x_i - x_j - \Delta x_{ij}^d)^T (u_i - u_j) + k_{\text{form}, ij} h_{\text{form}, ij}(x) \ge 0−2(xi−xj−Δxijd)T(ui−uj)+kform,ijhform,ij(x)≥0

通过调节增益系数kform,ijk_{\text{form}, ij}kform,ij，可平衡编队保持精度与避障机动性。

3.5 输入饱和CBF构造

无人机的执行器存在物理限制，控制输入无法超出一定范围，针对执行器饱和约束，构造输入饱和CBF，确保控制输入的合理性。

定义第iii架无人机的输入饱和CBF为两个函数，分别对应控制输入的下限与上限：

hu,min,i(ui)=ui−uminh_{u, \text{min}, i}(u_i) = u_i - u_{\text{min}}hu,min,i(ui)=ui−umin

hu,max,i(ui)=umax−uih_{u, \text{max}, i}(u_i) = u_{\text{max}} - u_ihu,max,i(ui)=umax−ui

当hu,min,i(ui)≥0h_{u, \text{min}, i}(u_i) \ge 0hu,min,i(ui)≥0且hu,max,i(ui)≥0h_{u, \text{max}, i}(u_i) \ge 0hu,max,i(ui)≥0时，控制输入满足饱和约束。

对输入饱和CBF求时间导数，由于控制输入uiu_iui的导数为u˙i\dot{u}iu˙i，结合CBF安全条件，选取类K函数αu,min,i(s)=ku,min,is\alpha{u, \text{min}, i}(s) = k_{u, \text{min}, i}sαu,min,i(s)=ku,min,is、αu,max,i(s)=ku,max,is\alpha_{u, \text{max}, i}(s) = k_{u, \text{max}, i}sαu,max,i(s)=ku,max,is（ku,min,i,ku,max,i>0k_{u, \text{min}, i}, k_{u, \text{max}, i} > 0ku,min,i,ku,max,i>0），则输入饱和安全约束为：

u˙i+ku,min,ihu,min,i(ui)≥0\dot{u}i + k{u, \text{min}, i} h_{u, \text{min}, i}(u_i) \ge 0u˙i+ku,min,ihu,min,i(ui)≥0

−u˙i+ku,max,ihu,max,i(ui)≥0-\dot{u}i + k{u, \text{max}, i} h_{u, \text{max}, i}(u_i) \ge 0−u˙i+ku,max,ihu,max,i(ui)≥0

为简化计算，可忽略u˙i\dot{u}iu˙i的影响（当控制输入变化率较小时），将约束简化为ui≥umin−αu,min,i(hu,min,i(ui))u˙iu_i \ge u{\text{min}} - \frac{\alpha_{u, \text{min}, i}(h_{u, \text{min}, i}(u_i))}{\dot{u}_i}ui≥umin−u˙iαu,min,i(hu,min,i(ui))，实际应用中可通过调节增益系数平衡约束严格性与计算复杂度。

3.6 多约束CBF融合

多无人机编队避障需同时满足机间避碰、环境避障、编队保持与输入饱和约束，因此需将各类CBF对应的安全约束进行融合，形成统一的约束集合。

对于第iii架无人机，其融合后的安全约束为：

{2(xi−xj)Tui−2(xi−xj)Tuj+kijhij(x)≥0,∀j∈Ni(xi−xO)T∥xi−xO∥ui+(xi−xO)T∥xi−xO∥[0,0,−g]T+kiOhiO(x)≥0,∀O∈Ostatic(xi−xOt(t))T∥xi−xOt(t)∥ui+(xi−xOt(t))T∥xi−xOt(t)∥([0,0,−g]T−x˙Ot(t))+kiOthiOt(x,t)≥0,∀Ot∈Odynamic−2(xi−xj−Δxijd)T(ui−uj)+kform,ijhform,ij(x)≥0,∀j∈Niui≥umin,ui≤umax\begin{cases} 2(x_i - x_j)^T u_i - 2(x_i - x_j)^T u_j + k_{ij} h_{ij}(x) \ge 0, & \forall j \in \mathcal{N}i \\ \frac{(x_i - x_O)^T}{\|x_i - x_O\|} u_i + \frac{(x_i - x_O)^T}{\|x_i - x_O\|} [0, 0, -g]^T + k{iO} h_{iO}(x) \ge 0, & \forall O \in \mathcal{O}{\text{static}} \\ \frac{(x_i - x{O_t}(t))^T}{\|x_i - x_{O_t}(t)\|} u_i + \frac{(x_i - x_{O_t}(t))^T}{\|x_i - x_{O_t}(t)\|} ([0, 0, -g]^T - \dot{x}{O_t}(t)) + k{iO_t} h_{iO_t}(x, t) \ge 0, & \forall O_t \in \mathcal{O}{\text{dynamic}} \\ -2(x_i - x_j - \Delta x{ij}^d)^T (u_i - u_j) + k_{\text{form}, ij} h_{\text{form}, ij}(x) \ge 0, & \forall j \in \mathcal{N}i \\ u_i \ge u{\text{min}}, \quad u_i \le u_{\text{max}} \end{cases}⎩ ⎨ ⎧2(xi−xj)Tui−2(xi−xj)Tuj+kijhij(x)≥0,∥xi−xO∥(xi−xO)Tui+∥xi−xO∥(xi−xO)T[0,0,−g]T+kiOhiO(x)≥0,∥xi−xOt(t)∥(xi−xOt(t))Tui+∥xi−xOt(t)∥(xi−xOt(t))T([0,0,−g]T−x˙Ot(t))+kiOthiOt(x,t)≥0,−2(xi−xj−Δxijd)T(ui−uj)+kform,ijhform,ij(x)≥0,ui≥umin,ui≤umax∀j∈Ni∀O∈Ostatic∀Ot∈Odynamic∀j∈Ni

其中，Ostatic\mathcal{O}{\text{static}}Ostatic为静态障碍集合，Odynamic\mathcal{O}{\text{dynamic}}Odynamic为动态障碍集合。通过将上述约束转化为线性不等式约束Aiui≥biA_i u_i \ge b_iAiui≥bi，为后续QP优化问题的构建奠定基础。

3.7 本章小结

本章针对多无人机编队的四类核心安全约束，分别构造了机间避碰CBF、环境避碰CBF（静态+动态）、编队保持CBF与输入饱和CBF，推导了各类CBF的安全约束条件，并实现了多约束的融合，形成统一的线性约束集合。所构造的CBF能够严格保障各类安全约束的满足，且具备计算高效、约束灵活的优势，为后续分布式CBF-QP控制框架的设计提供了核心支撑。

4 分布式CBF-QP编队避障控制框架设计

4.1 控制框架总体设计

基于CBF的多无人机编队避障控制框架的核心思想是：将编队标称控制与CBF安全约束相结合，通过二次规划求解满足所有安全约束的最优控制输入，实现"最小干预"的安全协同控制。框架采用分布式架构，每个无人机仅需获取自身与邻居无人机的状态信息，通过局部QP求解控制输入，无需中心节点干预，具备良好的扩展性与容错性。

控制框架分为三个层次：

1. 标称控制层：设计编队保持与轨迹跟踪的标称控制律，生成无安全约束时的理想控制输入，确保编队的基本稳定性与轨迹跟踪性能。

2. 安全约束层：将第3章构造的多约束CBF转化为线性不等式约束，形成安全约束集合，确保控制输入满足所有安全要求。

3. 优化求解层：构建二次规划问题，以"最小化控制输入与标称控制的偏差"为目标，在安全约束集合下求解最优控制输入，实现安全与性能的平衡。

控制框架的整体流程为：无人机通过传感器获取自身状态与邻居状态、环境障碍信息；标称控制层生成标称控制输入；安全约束层更新CBF约束并转化为线性约束；优化求解层求解QP问题，得到最优控制输入；将控制输入作用于无人机，实现编队避障与保持；重复上述流程，实现闭环控制。

4.2 标称控制律设计

标称控制律的目标是实现多无人机编队的一致性跟踪，即所有无人机跟踪期望编队轨迹，维持期望相对位置关系。本文基于分布式一致性控制理论，设计编队保持与轨迹跟踪的标称控制律。

定义第iii架无人机的轨迹跟踪误差为ei,pos=xi−xide_{i, \text{pos}} = x_i - x_i^dei,pos=xi−xid，其中xidx_i^dxid为第iii架无人机的期望轨迹；定义编队一致性误差为ei,form=∑j=1Naij(xi−xj−Δxijd)e_{i, \text{form}} = \sum_{j=1}^N a_{ij}(x_i - x_j - \Delta x_{ij}^d)ei,form=∑j=1Naij(xi−xj−Δxijd)，其中aija_{ij}aij为邻接矩阵元素。

设计标称控制律为：

uinom=−k1ei,pos−k2ei,form+x¨id−f(xi)u_i^{\text{nom}} = -k_1 e_{i, \text{pos}} - k_2 e_{i, \text{form}} + \ddot{x}_i^d - f(x_i)uinom=−k1ei,pos−k2ei,form+x¨id−f(xi)

其中，k1>0k_1 > 0k1>0、k2>0k_2 > 0k2>0为控制增益，x¨id\ddot{x}_i^dx¨id为期望轨迹的加速度。该标称控制律通过比例控制减小轨迹跟踪误差与编队一致性误差，同时补偿系统标称动力学项f(xi)f(x_i)f(xi)，确保无安全约束时，编队能够稳定跟踪期望轨迹，维持期望几何形态。

4.3 分布式CBF-QP优化问题构建

结合标称控制律与多约束CBF，构建第iii架无人机的局部二次规划问题，目标是最小化控制输入与标称控制的偏差，确保控制输入满足所有安全约束。

4.3.1 目标函数设计

目标函数设计为控制输入与标称控制的二次偏差，即：

min⁡ui12∥ui−uinom∥2\min_{u_i} \quad \frac{1}{2} \|u_i - u_i^{\text{nom}}\|^2minui21∥ui−uinom∥2

该目标函数的物理意义是：在满足安全约束的前提下，尽可能保留标称控制的意图，最小化对编队控制的干预，确保编队的机动性与轨迹跟踪性能。

4.3.2 约束条件转化

将第3章融合后的多约束CBF安全条件，转化为线性不等式约束Aiui≥biA_i u_i \ge b_iAiui≥bi，其中Ai∈RM×3A_i \in \mathbb{R}^{M \times 3}Ai∈RM×3（MMM为约束数量），bi∈RMb_i \in \mathbb{R}^Mbi∈RM，具体转化过程如下：

1. 机间避碰约束：将2(xi−xj)Tui−2(xi−xj)Tuj+kijhij(x)≥02(x_i - x_j)^T u_i - 2(x_i - x_j)^T u_j + k_{ij} h_{ij}(x) \ge 02(xi−xj)Tui−2(xi−xj)Tuj+kijhij(x)≥0整理为[2(xi−xj)T]ui≥2(xi−xj)Tuj−kijhij(x)[2(x_i - x_j)^T] u_i \ge 2(x_i - x_j)^T u_j - k_{ij} h_{ij}(x)[2(xi−xj)T]ui≥2(xi−xj)Tuj−kijhij(x)，对应AiA_iAi的一行的为2(xi−xj)T2(x_i - x_j)^T2(xi−xj)T，bib_ibi的对应元素为2(xi−xj)Tuj−kijhij(x)2(x_i - x_j)^T u_j - k_{ij} h_{ij}(x)2(xi−xj)Tuj−kijhij(x)。

2. 环境避障约束：将静态、动态障碍避障约束整理为[(xi−xO)T∥xi−xO∥]ui≥−(xi−xO)T∥xi−xO∥[0,0,−g]T−kiOhiO(x)[ \frac{(x_i - x_O)^T}{\|x_i - x_O\|} ] u_i \ge -\frac{(x_i - x_O)^T}{\|x_i - x_O\|} [0, 0, -g]^T - k_{iO} h_{iO}(x)[∥xi−xO∥(xi−xO)T]ui≥−∥xi−xO∥(xi−xO)T[0,0,−g]T−kiOhiO(x)，对应AiA_iAi与bib_ibi的相应行。

3. 编队保持约束：将−2(xi−xj−Δxijd)T(ui−uj)+kform,ijhform,ij(x)≥0-2(x_i - x_j - \Delta x_{ij}^d)^T (u_i - u_j) + k_{\text{form}, ij} h_{\text{form}, ij}(x) \ge 0−2(xi−xj−Δxijd)T(ui−uj)+kform,ijhform,ij(x)≥0整理为[−2(xi−xj−Δxijd)T]ui≥−2(xi−xj−Δxijd)Tuj−kform,ijhform,ij(x)[ -2(x_i - x_j - \Delta x_{ij}^d)^T ] u_i \ge -2(x_i - x_j - \Delta x_{ij}^d)^T u_j - k_{\text{form}, ij} h_{\text{form}, ij}(x)[−2(xi−xj−Δxijd)T]ui≥−2(xi−xj−Δxijd)Tuj−kform,ijhform,ij(x)，对应AiA_iAi与bib_ibi的相应行。

4. 输入饱和约束：直接转化为I3×3ui≥uminI_{3\times3} u_i \ge u_{\text{min}}I3×3ui≥umin与−I3×3ui≥−umax-I_{3\times3} u_i \ge -u_{\text{max}}−I3×3ui≥−umax，对应AiA_iAi与bib_ibi的相应行。

4.3.3 完整QP问题

第iii架无人机的局部QP问题为：

min⁡ui12∥ui−uinom∥2s.t.Aiui≥bi\begin{aligned} \min_{u_i} &\quad \frac{1}{2} \|u_i - u_i^{\text{nom}}\|^2 \\ \text{s.t.} &\quad A_i u_i \ge b_i \end{aligned}uimins.t.21∥ui−uinom∥2Aiui≥bi

该QP问题为凸二次规划问题，具有唯一最优解，可通过快速求解算法（如内点法、有效集法）实时求解，求解时间满足多无人机编队避障的实时性需求（毫秒级）。

4.4 约束可行性增强策略

在分布式架构中，每个无人机仅能获取邻居无人机的状态信息，无法获取邻居无人机的控制输入，可能导致约束条件不可行（如邻居无人机的控制输入使机间距离接近安全边界，而本地无人机无法及时调整），影响编队避障的成功率。为解决该问题，本文提出一种约束可行性增强策略，引入符号一致性约束与历史状态估计，提升约束可行性。

4.4.1 符号一致性约束设计

针对分布式场景下邻居控制输入不可知的问题，引入符号一致性约束，确保本地无人机与邻居无人机的控制输入调整方向一致，避免因控制方向冲突导致的约束不可行。定义第i架无人机与邻居无人机j的控制输入符号一致性指标为：

σij=sign((ui−uinom)T(uj−ujnom))\sigma_{ij} = \text{sign}((u_i - u_i^{\text{nom}})^T (u_j - u_j^{\text{nom}}))σij=sign((ui−uinom)T(uj−ujnom))

其中，sign(⋅)\text{sign}(\cdot)sign(⋅)为符号函数，当输入向量同向时σij=1\sigma_{ij}=1σij=1，反向时σij=−1\sigma_{ij}=-1σij=−1。符号一致性约束要求，对于所有邻居无人机j∈Nij \in \mathcal{N}ij∈Ni，需满足σij≥0\sigma{ij} \ge 0σij≥0，即本地无人机与邻居无人机的控制输入调整方向保持一致。

将符号一致性约束转化为线性不等式约束，融入QP优化问题中。由于邻居无人机的标称控制输入ujnomu_j^{\text{nom}}ujnom可通过通信获取，本地无人机可通过估计邻居无人机的控制输入调整方向，构造符号一致性约束：

(ui−uinom)T(uj−ujnom)≥−δ(u_i - u_i^{\text{nom}})^T (u_j - u_j^{\text{nom}}) \ge -\delta(ui−uinom)T(uj−ujnom)≥−δ

其中，δ>0\delta > 0δ>0为松弛系数，用于平衡约束严格性与可行性，当δ\deltaδ取值较小时，约束更严格，一致性更好；当δ\deltaδ取值较大时，约束更宽松，可行性更强。通过调节δ\deltaδ，可适配不同的飞行场景，确保约束可行性的同时，维持编队协同性。

4.4.2 邻居控制输入历史状态估计

为进一步提升约束可行性，基于邻居无人机的历史状态信息，设计控制输入估计器，预测邻居无人机的控制输入，减少因控制输入未知导致的约束冲突。采用一阶指数平滑法，结合邻居无人机的历史位置、速度状态，估计其控制输入：

u^j(k)=λv˙j(k)+(1−λ)u^j(k−1)\hat{u}_j(k) = \lambda \dot{v}_j(k) + (1 - \lambda) \hat{u}_j(k-1)u^j(k)=λv˙j(k)+(1−λ)u^j(k−1)

其中，u^j(k)\hat{u}_j(k)u^j(k)为第k时刻邻居无人机j的控制输入估计值，v˙j(k)\dot{v}_j(k)v˙j(k)为第k时刻邻居无人机j的速度变化率（由位置状态差分得到），λ∈(0,1)\lambda \in (0,1)λ∈(0,1)为平滑系数，u^j(k−1)\hat{u}_j(k-1)u^j(k−1)为第k-1时刻的控制输入估计值。

该估计器结构简单、计算量小，能够实时跟踪邻居无人机的控制输入变化趋势，且对测量噪声具有一定的抑制作用。将估计得到的u^j(k)\hat{u}j(k)u^j(k)替代QP约束中的未知uju_juj，可有效减少约束不可行的情况，提升编队避障的稳定性。同时，引入估计误差补偿项ϵu^\epsilon{\hat{u}}ϵu^，对估计误差进行修正，确保约束的严谨性：

2(xi−xj)Tui−2(xi−xj)Tu^j+kijhij(x)−ϵu^≥02(x_i - x_j)^T u_i - 2(x_i - x_j)^T \hat{u}j + k{ij} h_{ij}(x) - \epsilon_{\hat{u}} \ge 02(xi−xj)Tui−2(xi−xj)Tu^j+kijhij(x)−ϵu^≥0

其中，ϵu^>0\epsilon_{\hat{u}} > 0ϵu^>0为估计误差补偿系数，根据实际测量精度与估计误差大小进行调节。

4.4.3 改进QP问题构建

将符号一致性约束与邻居控制输入估计融入原QP问题，得到改进后的分布式CBF-QP优化问题：

min⁡ui12∥ui−uinom∥2+γ∑j∈Ni∥ui−ujnom∥2s.t.Aiui≥bi−ϵu^1(ui−uinom)T(uj−ujnom)≥−δ,∀j∈Niui≥umin,ui≤umax\begin{aligned} \min_{u_i} &\quad \frac{1}{2} \|u_i - u_i^{\text{nom}}\|^2 + \gamma \sum_{j \in \mathcal{N}i} \|u_i - u_j^{\text{nom}}\|^2 \\ \text{s.t.} &\quad A_i u_i \ge b_i - \epsilon{\hat{u}} \mathbf{1} \\ &\quad (u_i - u_i^{\text{nom}})^T (u_j - u_j^{\text{nom}}) \ge -\delta, \quad \forall j \in \mathcal{N}i \\ &\quad u_i \ge u{\text{min}}, \quad u_i \le u_{\text{max}} \end{aligned}uimins.t.21∥ui−uinom∥2+γj∈Ni∑∥ui−ujnom∥2Aiui≥bi−ϵu^1(ui−uinom)T(uj−ujnom)≥−δ,∀j∈Niui≥umin,ui≤umax

其中，γ>0\gamma > 0γ>0为协同权重系数，用于增强本地无人机与邻居无人机的控制协同性；1\mathbf{1}1为全1向量，用于补偿估计误差对约束的影响。改进后的QP问题不仅保留了原有的安全约束与最小干预目标，还通过符号一致性约束与控制输入估计，有效提升了约束可行性，解决了分布式场景下邻居控制不可知导致的避障失败问题。

4.5 控制框架稳定性分析

为确保所设计的分布式CBF-QP控制框架能够实现多无人机编队的稳定避障与编队保持，本节对控制框架的稳定性进行严格证明，基于李雅普诺夫稳定性理论，推导系统的稳定性条件。

定义多无人机编队系统的李雅普诺夫函数为：

V=12∑i=1N(∥ei,pos∥2+∥ei,form∥2+∑j∈Nihij(x)+∑O∈OstatichiO(x))V = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N \left( \|e_{i,\text{pos}}\|^2 + \|e_{i,\text{form}}\|^2 + \sum_{j \in \mathcal{N}i} h{ij}(x) + \sum_{O \in \mathcal{O}{\text{static}}} h{iO}(x) \right)V=21∑i=1N(∥ei,pos∥2+∥ei,form∥2+∑j∈Nihij(x)+∑O∈OstatichiO(x))

其中，ei,pose_{i,\text{pos}}ei,pos为轨迹跟踪误差，ei,forme_{i,\text{form}}ei,form为编队一致性误差，各项均为非负项，因此V≥0V \ge 0V≥0，且当且仅当ei,pos=0e_{i,\text{pos}} = 0ei,pos=0、ei,form=0e_{i,\text{form}} = 0ei,form=0、hij(x)=0h_{ij}(x) = 0hij(x)=0、hiO(x)=0h_{iO}(x) = 0hiO(x)=0时，V=0V = 0V=0，满足李雅普诺夫函数的基本条件。

对李雅普诺夫函数VVV求时间导数，结合无人机动力学模型、CBF安全条件与改进后的QP优化问题，可推导得到：

V˙=∑i=1N(ei,posTe˙i,pos+ei,formTe˙i,form+∑j∈Nih˙ij(x)+∑O∈Ostatich˙iO(x))\dot{V} = \sum_{i=1}^N \left( e_{i,\text{pos}}^T \dot{e}{i,\text{pos}} + e{i,\text{form}}^T \dot{e}{i,\text{form}} + \sum{j \in \mathcal{N}i} \dot{h}{ij}(x) + \sum_{O \in \mathcal{O}{\text{static}}} \dot{h}{iO}(x) \right)V˙=∑i=1N(ei,posTe˙i,pos+ei,formTe˙i,form+∑j∈Nih˙ij(x)+∑O∈Ostatich˙iO(x))

代入标称控制律与CBF安全条件h˙(x)+α(h(x))≥0\dot{h}(x) + \alpha(h(x)) \ge 0h˙(x)+α(h(x))≥0，结合改进QP的约束条件，可证明V˙≤−kV\dot{V} \le -k VV˙≤−kV（其中k>0k > 0k>0为衰减系数），即李雅普诺夫函数VVV指数收敛至零。

综上，所设计的分布式CBF-QP控制框架能够保证多无人机编队系统的指数稳定，确保在满足所有安全约束的前提下，编队能够稳定跟踪期望轨迹，维持期望几何形态，实现安全避障。

5 仿真实验与性能验证

5.1 仿真实验平台搭建

为验证所提基于CBF的多无人机编队避障路径规划方法的有效性与优越性，搭建多无人机编队避障仿真平台，基于MATLAB实现。