在 解析几何的力量 一文的最后，我有点着墨过轻，但由于周六上午要去买菜做饭，只能仓促收尾，本文专门补上详述。
再次看题：
一条斜率已知的直线交椭圆于 A, B 两点，平面内有一定点 O，OA, OB 再次交椭圆于 A', B' 两点，请问 "A'B' 直线过定点或斜率为定值" 正确吗？若正确，求定点/斜率。
文中我借助现代工具 geogebra，构建了一个动图：
所以我可以一眼看出 A'B' 过定点 E，而且我还能看出这个 E 点的构造，它在过 O 与已知 AB 平行的直线上，如果 F 是 O 的极线与该直线的交点，那么 E 就是 OF 的中点，这一切都是看出来的，而若没有现代工具，这些要么正向算出来，构建关系证出来，要么就需要猜出来。
我在正文中引入大量篇幅描述利用解析几何的硬算过程，借助同样现代的 AI 工具，这个过程显得繁琐但并不困难，退化成了 17 世纪数学家的梦想，算术的机械化。
依托这样的硬算，我从零到一导出了射影几何的重要结论，极点，极线的对偶关系，配极定理等，最后，我假设这些都已知，确定了 A'B' 的形式为 AB 和 O 点极线的线性叠加：
λ ⋅ L O + μ ⋅ A B = 0 ⋯ ( 1 ) \lambda\cdot L_O+\mu\cdot AB=0\quad \cdots(1) λ⋅LO+μ⋅AB=0⋯(1)
此后的篇幅戛然而止，我今天正要补足这些内容。
设:
椭圆: Γ = 0 \Gamma=0 Γ=0 ，定点 O ( x 0 , y 0 ) O(x_0,y_0) O(x0,y0)
- AB: L : y − k ⋅ x − m = 0 L:y−k⋅x−m=0 L:y−k⋅x−m=0
- 过 O 且与 AB 平行的直线： ℓ : y − y 0 = k ⋅ ( x − x 0 ) \ell:y−y_0=k\cdot(x−x_0) ℓ:y−y0=k⋅(x−x0)
- O 的极线： L O : Γ ( O ) = Γ ( x 0 , y 0 ) L_O:\Gamma(O)=\Gamma(x_0,y_0) LO:Γ(O)=Γ(x0,y0)
我现在要做的事就是导出 A'B' 的形式，验算它与 m 无关，同时过 E 点。
执果溯因，我已经看到 A'B' 与 m 无关，而由于 m 仅出现在 L 中，那么 m 只能以 k x − y + m = k x 0 − y 0 + m kx-y+m=kx_0-y_0+m kx−y+m=kx0−y0+m 的形式最终被约去，约分项是 ( k x 0 − y 0 + m ) (kx_0−y_0+m) (kx0−y0+m) ，AB 就没了，则 A'B' 的表达式 (1) 可以写成：
γ ⋅ L O = 1 \gamma\cdot{L_O = 1} γ⋅LO=1
其中 $\gamma 只与 a，b，O，k 有关。
E 的坐标就是下面方程组的解：
{ γ L O = 1 y − y 0 = k ( x − x 0 ) ⋯ ( 2 ) \begin{cases}{\gamma L_O = \,1}\\{y-y_0=k(x-x_0)}\end{cases}\quad \cdots(2) {γLO=1y−y0=k(x−x0)⋯(2)
我要求解 γ ( a , b , O ( x 0 , y 0 ) , k ) \gamma(a,b,O(x_0,y_0),k) γ(a,b,O(x0,y0),k).
接下来按照常规做法：
- 要么射影几何，调和点列证明；
- 要么解析几何，待定系数硬算；
而我借助了又一个现代的工具，拟合。
由于我已经知道了 E 点的构建方式，我便可通过现代作图工具采集大量的数据集：
{ a , b , O ( x 0 , y 0 ) , k , E ( x E , y E ) } \{a,b,O(x_0,y_0),k,E(x_E,y_E)\} {a,b,O(x0,y0),k,E(xE,yE)}
诸如以下：
a b x 0 y 0 k x E y E 2 1 − 3.40 0.40 0.6 − 1.72 1.41 2 1 − 3.40 0.40 0.7 − 1.60 1.66 2 1 − 3.40 0.40 0.8 − 1.46 1.95 2 1 − 3.40 0.40 0.9 − 1.31 2.29 2 1 − 3.40 0.40 1.0 − 1.12 2.68 2 1 − 3.40 0.40 1.1 − 0.89 3.16 2 1 − 3.40 0.40 1.2 − 0.62 3.73 2 1 − 3.40 0.40 1.3 − 0.29 4.45 2 1 − 3.40 0.40 1.4 − 0.15 5.37 2 1 − 3.40 0.40 1.5 0.72 6.58 2 1 − 3.40 0.40 1.6 1.51 8.25 2 1 − 3.72 0.98 0.7 3.28 5.89 2 1 − 4.00 1.00 0.7 5.47 7.63 2 1 − 4.20 1.00 0.7 4.52 7.11 2 1 − 3.79 1.03 0.7 4.23 6.64 2 1 − 3.60 0.79 0.7 0.53 3.68 2 1 − 3.56 0.63 0.7 − 0.70 2.64 2 1 − 2.85 0.65 0.7 − 0.06 2.61 2 1 − 2.33 0.76 0.7 6.77 7.12 2 1 − 2.25 0.66 0.7 1.35 3.18 2 1 − 2.44 0.60 0.7 − 0.21 2.16 2 1 − 3.83 0.57 0.7 − 1.16 2.44 2 1 − 4.29 0.68 0.7 − 0.89 3.06 2 1 − 4.36 0.84 0.7 0.07 3.93 . . . \begin{array}{ccccccc} a & b & x_0 & y_0 & k & x_E & y_E \\ 2 & 1 & -3.40 & 0.40 & 0.6 & -1.72 & 1.41 \\ 2 & 1 & -3.40 & 0.40 & 0.7 & -1.60 & 1.66 \\ 2 & 1 & -3.40 & 0.40 & 0.8 & -1.46 & 1.95 \\ 2 & 1 & -3.40 & 0.40 & 0.9 & -1.31 & 2.29 \\ 2 & 1 & -3.40 & 0.40 & 1.0 & -1.12 & 2.68 \\ 2 & 1 & -3.40 & 0.40 & 1.1 & -0.89 & 3.16 \\ 2 & 1 & -3.40 & 0.40 & 1.2 & -0.62 & 3.73 \\ 2 & 1 & -3.40 & 0.40 & 1.3 & -0.29 & 4.45 \\ 2 & 1 & -3.40 & 0.40 & 1.4 & -0.15 & 5.37 \\ 2 & 1 & -3.40 & 0.40 & 1.5 & 0.72 & 6.58 \\ 2 & 1 & -3.40 & 0.40 & 1.6 & 1.51 & 8.25 \\ 2 & 1 & -3.72 & 0.98 & 0.7 & 3.28 & 5.89 \\ 2 & 1 & -4.00 & 1.00 & 0.7 & 5.47 & 7.63 \\ 2 & 1 & -4.20 & 1.00 & 0.7 & 4.52 & 7.11 \\ 2 & 1 & -3.79 & 1.03 & 0.7 & 4.23 & 6.64 \\ 2 & 1 & -3.60 & 0.79 & 0.7 & 0.53 & 3.68 \\ 2 & 1 & -3.56 & 0.63 & 0.7 & -0.70 & 2.64 \\ 2 & 1 & -2.85 & 0.65 & 0.7 & -0.06 & 2.61 \\ 2 & 1 & -2.33 & 0.76 & 0.7 & 6.77 & 7.12 \\ 2 & 1 & -2.25 & 0.66 & 0.7 & 1.35 & 3.18 \\ 2 & 1 & -2.44 & 0.60 & 0.7 & -0.21 & 2.16 \\ 2 & 1 & -3.83 & 0.57 & 0.7 & -1.16 & 2.44 \\ 2 & 1 & -4.29 & 0.68 & 0.7 & -0.89 & 3.06 \\ 2 & 1 & -4.36 & 0.84 & 0.7 & 0.07 & 3.93 \\ ...\\ \end{array} a222222222222222222222222...b111111111111111111111111x0−3.40−3.40−3.40−3.40−3.40−3.40−3.40−3.40−3.40−3.40−3.40−3.72−4.00−4.20−3.79−3.60−3.56−2.85−2.33−2.25−2.44−3.83−4.29−4.36y00.400.400.400.400.400.400.400.400.400.400.400.981.001.001.030.790.630.650.760.660.600.570.680.84k0.60.70.80.91.01.11.21.31.41.51.60.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.70.7xE−1.72−1.60−1.46−1.31−1.12−0.89−0.62−0.29−0.150.721.513.285.474.524.230.53−0.70−0.066.771.35−0.21−1.16−0.890.07yE1.411.661.952.292.683.163.734.455.376.588.255.897.637.116.643.682.642.617.123.182.162.443.063.93
借助现代工具，我的数据产生足够多，足够快，拟合的准确性和拟合效率就足够高，这正是大模型的思想，在我这个 case 里就是小卡拉米。
我的目标是通过这些数据，反算拟合出方程组 (2) 中的 γ \gamma γ，求得它的表达式，实际上就是用海量数据中的 { a , b , O ( x 0 , y 0 ) , k , E ( x E , y E ) } \{a,b,O(x_0,y_0),k,E(x_E,y_E)\} {a,b,O(x0,y0),k,E(xE,yE)}去凑出对应 γ \gamma γ.
极点极线原理中，一个二阶常量是 Δ Γ = 1 − x 0 2 a 2 − y 0 2 b 2 \Delta_\Gamma=1-\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2} ΔΓ=1−a2x02−b2y02，它刻画了 O ( x 0 , y 0 ) O(x_0,y_0) O(x0,y0) 相对椭圆 Γ \Gamma Γ 的位置。因此我们将 Δ Γ \Delta_\Gamma ΔΓ 也加入拟合元组：
{ a , b , O ( x 0 , y 0 ) , k , E ( x E , y E ) , Δ Γ } \{a,b,O(x_0,y_0),k,E(x_E,y_E),\Delta_\Gamma\} {a,b,O(x0,y0),k,E(xE,yE),ΔΓ}
只要数据足够，散点图上清晰可见 Δ Γ \Delta_\Gamma ΔΓ 与 γ \gamma γ 成反比例，而简单的待定系数就能得到：
γ = 2 Δ Γ \gamma=\dfrac{2}{\Delta_\Gamma} γ=ΔΓ2
最终，A'B' 的方程就是：
2 1 − x 0 2 a 2 − y 0 2 b 2 ⋅ L O = 1 \dfrac{2}{1-\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}} \cdot L_O=1 1−a2x02−b2y022⋅LO=1
其实反问一句，A'B' 的形式真的重要吗，既然通过拟合就能要数据有数据，要结论有结论，方程的表达式真的还需要吗，辛苦算 γ \gamma γ 得到 A'B' 的正经表达，最终的目标不还是拟合数据吗。
解析几何，数据生成，数据拟合等现代工具加持下，计算的范式变了，关系可直接通过关系本身体现，方程的意义淡化了。纯玩，具体表达式已经不重要了。
以上我是从假装自己什么都不懂的假设下，甚至连硬算都没有，依托现代化工具，纯靠凑，拟合出来了 A'B' 的形式。
靠实力纯 "猜" 我也能猜到这个定点在哪里，背后是一股子哲学味，点和线的对偶，这也是射影几何的根。
定直线一定对偶定点，定点一定对偶定直线。
比如椭圆定点，即焦点弦两端的切线交点轨迹一定是定直线，即准线，而准线上任一点的极线则是焦点弦，恒过焦点，这就是对偶的极佳例子。
回到原题。
既然 AB 斜率一定，那么它从下往上扫过坐标系时，一定会和椭圆有两个切点，不妨分析这两种极端情况。如下图，红色线为 y = k x + m y=kx+m y=kx+m：
先看左图，B 点为切点，A，B 重合，故 A'，B' 亦重合为 B'，而 CG 为 O 的极线，因此 CB' 与椭圆相切，B'B 为 C 点的极线。再看右图，B 点成为左上侧另一个切点，同理，CB' 与椭圆相切，B'B 为 C 点的极线。
由于 k 一定，O 一定，因此 C，G 被固定，因此左图的 CB'，右图的 CB'，左图的 CB 围成的椭圆的外切三角形被固定，两种极端情况下的 B' 连线被固定，如下图虚线，而固定的极线对应固定的极点 E：
再来比较 O 和 C，它两个位置是完全对等对称的，而 E 恰好就是 CA'B' 上的点：
C 点的位置被 k 影响，从 E 点被 k 拉走，但拉走的距离恰由 k 决定，这就是杠杆原理，支点必存在，定点 E 就是那个支点。这就猜对了。
这就猜对了。
本文补充的两个事，一个靠凑，一个靠猜，背后都是实力。现代应用数学的思路已经变成了可视化，数据，拟合，猜证一条龙，还是要强调，现代意义下，显式代数表达式的意义被弱化，关系本身比代数形式更重要。
浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。