【递归算法】全排列

题目链接

文章摘要：

本文解析了LeetCode全排列问题，通过递归回溯法生成所有不重复排列。算法使用决策树模型，通过标记数组避免重复选择，递归过程中维护路径列表，当路径长度等于输入数组长度时保存结果。关键点包括：递归出口判断、数字状态标记与恢复、回溯时的剪枝处理。代码实现采用全局变量记录结果和路径，通过深度优先搜索（DFS）遍历所有可能排列，最终返回符合条件的二维结果数组。

一、题目解析

题目给出几个数字，然后要求所有不重复的排列，返回一个二维数组。

二、算法原理 + 代码实现

穷举法

我们可以像"两数之和"这道题目一样，用三层循环来解决，一层循环对应一个数字。

但是，这样的方法效率太低，当数越多，可能会超时。

递归法

我们可以这样做：想象有三个位置，将例1中的三个数字【1，2，3】分别放入。

当第一个位置是1时，第二个位置可以是2也可以是3，当第二个位置是2时，第三个位置只能是3，而当第二个位置是3时，第三个位置只能是2；
当第一个位置是2时，第二个位置可以是1也可以是3，当第二个位置是1时，第三个位置只能是3，而当第二个位置是3时，第三个位置只能是1；
当第一个位置是3时，第二个位置可以是1也可以是2，当第二个位置是1时，第三个位置只能是2，而当第二个位置是2时，第三个位置只能是1；

那照这个逻辑，我们可以画出决策树：

最终得出结果：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3], [2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

可以采用递归实现：

每一次的递归操作都是判断数字是否已被选
第一次递归，判断1被选没，没有则放入第一个位置，然后递归
第二次递归，判断到1已被选，不做任何操作，判断2有没有被选，没有则放入第二个位置，然后递归
第三次递归，判断到1和2都已被选，判断3有没有被选，没有则放入第三个位置，此时组成的数字（123）已经和所给数组长度一致，就更新结果然后回溯，在回溯的时候恢复现场。
回溯到 12__ 位置时，由于和3组合的情况已经有了且只能有这一种情况，再回溯
回溯到 1__ __ 位置时，此时第二个位置为2的情况已经全部遍历了，再递归第二个位置为3的情况
从 13__ 位置开始，判断到1和3都已被选，此时只剩一种情况，判断2有没有被选，没有则放入第三个位置，此时组成的数字（132）已经和所给数组长度一致，就更新结果然后回溯，在回溯的时候恢复现场。
回溯到 13__ 位置时已没有剩余情况，继续回溯到 1__ __ 位置，这时候第一个位置为1的所有情况已经列举完了，再回溯，重新选择第一个位置
回到 __ __ __ 位置，此时选择2作为第一个位置，即 2 __ __，然后递归列举第一个位置为2的所有情况
递归后，按顺序判断，得知1还未被选择，于是第二个位置选1，得到 21 __ ，然后递归列举所有第一个位置为2、第二个位置为1的情况
递归后，按顺序判断，得知1和2都被选择了，且3还未被选择，于是第三个位置选择3，得到 213，此时长度已与所给数组长度一致，开始回溯
回溯到 21 __ 发现没有剩余情况，再回溯到 2 __ __ ，判断3还未被选择，于是第二个位置选择3，得到23 __，递归该组合的所有情况
递归后发现只有1还未被选择，得到 231，此时长度达到回溯条件，开始回溯
回溯到 __ __ __ 位置，然后选择3作为第一个位置继续递归列举所有情况，得到 312 和 321
回溯到 __ __ __ 位置，此时所有元素已被列举完毕，退出程序

得到结果：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

全局变量

我们采用递归实现，肯定要涉及到全局变量的，首先需要一个记录结果的 ret（二维数组），然后每一层递归的路径也要记录下来，用 path（是一个一维数组）。

然后由于我们需要判断数字是否已被选，就要有标记数字状态的东西，我们可以使用一个布尔类型的数组，设置它的长度和题目所给数组（nums）的长度一致，通过下标对应nums中的数字，以此来标记数字的状态（true 表示数字已被选择，false 则未被选择）。

dfs 函数

函数头

接下来我们设计 dfs 函数，先搞清楚每一次递归中，要做的事情是什么，也就是重复的事情------那就是判断数字是否已被选择，那数字在哪里呢？在题目所给的数组nums里，于是我们的参数设置只需要一个参数（int[] nums）即可。

函数体

在我们要重复做的事情中，应该具体做点啥呢？如何判断数字是否已被选择？

因为我们是要按照数组的顺序选择数字的，而且选择数字的同时还要更新对应的状态，且都是通过下标来访问的，所以可以使用循环：拿到一个数字，先判断它是否已被选择了，如果未被选择那就把它添加到 path 里头，然后通过设置布尔数组更新数字的状态为 true，表示该数字已被选择，接着递归该组合下的所有情况。

细节问题

回溯

当我们找到一种结果，往上层回溯的时候，涉及到恢复现场的处理。

例如当我们从 123 开始回溯，此时回溯到 1 __ __ 位置，然后将第二个位置设置为3再接着递归这个组合的所有情况，但是 path 中的中还未改过来呢，此时它的值还是（1，2，3），我们必须找个时机将它后面的元素删掉，回溯一层就删去一个，而且还要重置数字的状态为 false，所以可以将恢复现场操作放到递归回来之后进行（注意是删除最后面的那个元素噢）。

剪枝

我们这棵决策树其实是有剪枝的，那些画了红叉叉的就是剪枝掉了的，那我们已经通过 " 标记数字的状态 + 判断数字是否已被选择 " 来实现剪枝了：当判断到数字的状态是 false 时才选择，若为 true 就不选择（剪枝）。

递归出口

当我们的 path 的长度与题目所给数组 nums 的长度一致，就可以认为是一种结果，把它添加到 ret 中就可以回溯了。

代码实现

Java 复制代码

class Solution {
    List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>();
    List<Integer> path = new ArrayList<>();
    boolean[] check;

    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        check = new boolean[nums.length];
        dfs(nums);
        return ret;
    }
    
    void dfs(int[] nums) {
        // 递归出口：path和 nums数组长度相等时，更新结果
        if (path.size() == nums.length) {
            ret.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (check[i] == false) {
                path.add(nums[i]);
                check[i] = true;
                // 递归
                dfs(nums);
                // 回溯，恢复现场
                path.remove(path.size() - 1);
                check[i] = false;
            }
        }
    }
}

若有不对请尽管指出😊🌹

完