前缀和(矩阵区域和)(8)

https://blog.csdn.net/2601_95366422/article/details/158848006

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一.题目

二.思路

2.1 审题

题目要求对于矩阵中的每一个位置 (r, c) ，计算以它为中心、向四周各扩展 k 个单位得到的正方形区域内的所有元素之和。也就是说，行范围是从 r - k 到 r + k ，列范围是从 c - k 到 c + k 。

2.2 思路讲解

下标偏移问题 ：原始矩阵的下标是从 0 开始的，而我们在构建二维前缀和数组时，需要让下标从 1 开始，这样可以避免边界判断（因为 dp[0][*] 和 dp[*][0] 可以初始化为 0）。因此，我们创建一个大小为 (m+1) × (n+1) 的前缀和数组 dp ，其中 dp[i][j] 表示原矩阵中从 (0,0) 到 (i-1, j-1) 这个子矩阵的和。这样，原矩阵中位置 (r, c) 的元素对应到 dp 中的下标是 (r+1, c+1)。
前缀和计算公式 ：构建 dp 时，使用二维前缀和递推公式：
dp[i+1][j+1] = dp[i+1][j] + dp[i][j+1] - dp[i][j] + mat[i][j]。

这里 i 和 j 遍历原矩阵的行和列（从 0 到 m-1, 0 到 n-1），这样计算出的 dp[i+1][j+1] 正好对应原矩阵从 (0,0) 到 (i,j) 的和。

查询子矩阵和 ：对于每个位置 (i, j) ，我们需要计算以它为中心、边长为 2k+1 的正方形区域的和。但由于边界可能越界，实际范围是：

行范围：r1 = max(0, i - k) ，r2 = min(m - 1, i + k) ，

列范围：c1 = max(0, j - k) ，c2 = min(n - 1, j + k) 。

为了利用前缀和数组，我们将这些边界转换为 dp 中的下标：
x1 = r1 + 1 ，y1 = c1 + 1 ，x2 = r2 + 1 ，y2 = c2 + 1 。

那么对应的子矩阵和可以通过前缀和快速得到：
sum = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1]

三.代码演示

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) 
    {
        int m = mat.size();
        int n = mat[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1,vector<int>(n + 1));
        vector<vector<int>> answer(m,vector<int>(n));
        //求二维前缀和
        for(int i = 0;i < m;i++)
        {
            for(int j = 0;j < n;j++)
            {
                dp[i + 1][j + 1] = dp[i + 1][j] + dp[i][j + 1] - dp[i][j] + mat[i][j]; 
            }
        }    
        //使用二维前缀和
        for(int i = 0;i < m;i++)
        {
            for(int j = 0; j < n;j++)
            {
                int x1 = max(0,i - k) + 1,y1 = max(0,j - k) + 1;
                int x2 = min(m - 1,i + k) + 1,y2 = min(n - 1,j + k) + 1;
                answer[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
            }
        }
        return answer;
    }
};

四.代码讲解

一、初始化前缀和数组

为了高效计算任意子矩阵的和，我们首先构建一个二维前缀和数组 dp。由于原矩阵下标从 0 开始，而前缀和公式通常需要下标从 1 开始以简化边界处理，因此我们创建一个大小为 (m+1) × (n+1) 的数组 dp，其中 m 和 n 分别为原矩阵的行数和列数。dp[i][j] 表示原矩阵中从左上角 (0,0) 到 (i-1, j-1) 这个矩形区域的所有元素之和。这样，dp[0][*] 和 dp[*][0] 自动为 0，为后续计算提供了安全保障。

二、构建二维前缀和

我们通过两层循环遍历原矩阵的每一个元素 mat[i][j]（i 从 0 到 m-1，j 从 0 到 n-1），并按照二维前缀和递推公式 更新 dp：

dp[i+1][j+1] = dp[i+1][j] + dp[i][j+1] - dp[i][j] + mat[i][j]。 这个公式的几何意义是：当前位置 (i+1, j+1) 对应的矩形和等于左边矩形 （dp[i+1][j]）加上右边矩形 （dp[i][j+1]），再减去重复计算的左上角矩形 （dp[i][j]），最后加上当前元素 mat[i][j] 。通过一次双重循环，我们就能得到所有前缀和，时间复杂度 O(m×n)。

三、查询每个位置的区域和

题目要求对于每个位置 (i, j)，计算以它为中心、向四周扩展 k 个单位得到的正方形区域的和。由于可能越界，我们需要先确定实际的行列范围：

行范围： r1 = max(0, i - k)，r2 = min(m - 1, i + k)
列范围： c1 = max(0, j - k)，c2 = min(n - 1, j + k)

为了使用前缀和数组，将这些边界转换为 dp 中的下标（因为 dp 的下标比原矩阵大 1）：

x1 = r1 + 1，y1 = c1 + 1
x2 = r2 + 1，y2 = c2 + 1 那么子矩阵的和可以通过容斥原理快速得到：
sum = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1] 这里，d**p[x2][y2]**是从左上角到 (r2, c2) 的大矩形和 ，减去左边矩形 dp[x2][y1-1]和右边矩形 dp[x1-1][y2] 和，再加回被重复减去的左上角矩形 dp[x1-1][y1-1]。