【例 1】区间和（信息学奥赛一本通- P1547）（基础线段树和单点修改区间查询树状数组模版）

【题目描述】

给定一个全部为零的数列，规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求区间的连续和。

【输入】

输入数据第一行包含两个正整数n,m(n≤100000,m≤500000),以下是m行，

每行有三个正整数k,a,b(k=0或1,a,b≤n).k=0时表示将a处数字加上b,k=1时表示询问区间[a,b]内所有数的和。

【输出】

对于每个询问输出对应的答案。

【输入样例】

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【输出样例】

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题目分析与思考过程

面对"修改与查询交替进行"的序列问题，我们首先要在脑海中进行暴力算法的推演与排除：

普通数组（暴力法）：
- 单点修改极其迅速，时间复杂度O(1)。
- 区间求和需要使用for循环遍历，时间复杂度O(N)。
- 在m=500000的数据量下，最坏时间复杂度逼近O(N×M)，即5×10^10次运算，绝对会超时。
前缀和数组：
- 区间求和利用前缀和相减（sum[R]-sum[L-1]），时间复杂度降为O(1)。
- 但单点修改灾难了，改了一个位置，它后面的所有前缀和全都要重新计算，时间复杂度退化为O(N)，同样会超时。

解法：我们需要一种数据结构，能够在这两个极端之间找到平衡。树状数组和线段树应运而生，它们都能将修改和查询的时间复杂度同时稳定在极速的O(logN)级别。

解题思路与算法设计

方法一：树状数组

树状数组的核心在于**lowbit（位运算）**。它巧妙地利用二进制特征，将一个数字划分为多个不同长度的管辖区。

单点修改 ：不断向右上方寻找包含当前位置的"大管家"（x+=lowbit(x)），并给它们加上该数值。
区间求和 ：依然是经典的前缀和思想query(R)-query(L-1)。求前缀和时，不断向左下方聚拢小管家（x-=lowbit(x)）把账本加起来。
特点：代码精简，常数小，速度快，是本题的最优解。

方法二：线段树

线段树运用了经典的二分分治思想。将区间不断从中间劈开，直到叶子节点（长度为 1）。

建树（Build） ：递归到叶子节点赋值，再自底向上 PushUp 汇总结点信息。
单点修改（Update） ：像狙击枪一样，一路根据中点劈开，直插到对应的叶子节点修改，归来时顺路PushUp更新沿途的父节点。
区间查询（Query）：如果当前节点的管辖区间被查询区间完全包围，直接交出总账；否则继续向下劈开查找。
特点：虽然代码较长、常数略大，但它是后续处理"区间修改"、"区间取最值"等复杂操作的万能框架。

时空复杂度分析

算法	单次修改时间	单次查询时间	总体时间复杂度	空间复杂度
树状数组	O(logN)	O(logN)	O(MlogN)	O(N) (单倍数组)
线段树	O(logN)	O(logN)	O(MlogN)	O(N) (需开 4 倍数组)

易错点总结

十年OI一场空，不开long long见祖宗 ：100000 个数累加，哪怕每个数不大，多次修改后的区间和也很容易突破int范围（约 21 亿）。前缀和与线段树的节点值必须使用long long。
线段树的空间血泪史 ：线段树是一棵二叉树，底层叶子节点为了完全铺开，数组大小必须开到原数组大小的4倍（maxn<<2）。
输入输出流引发的血案 ：本题查询与修改总次数m高达500000。如果使用C++原生的 cin/cout，可能因为I/O太慢而超时，在main函数开头加上 ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); 来解除同步。
递归的死亡黑洞 ：线段树单点修改寻找到叶子节点（l==r）并修改后，必须return。 如果不写return，程序会继续劈开区间进入死循环，导致栈溢出。

完整代码

版本一：树状数组

cpp 复制代码

//树状数组做法
#include <iostream>
using namespace std;
int n,m;
long long c[100010];//树状数组 维护前缀和


//树状数组核心 返回x二进制表示下最低位1所代表的整数
int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

//单点修改 在a的位置上加b
void update(int a,int b){
    //从底层一路向右上方更新所有管辖着位置a的上级节点
    while(a<=n){
        c[a]+=b;
        a+=lowbit(a);
    }
}

//查询前缀和：返回1到x的区间总和
long long query(int x){
    long long ret=0;//记录前缀和
    //从位置x一路向左下方累加经过的每一个管辖区
    while(x>0){
        ret+=c[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return ret;
}

int main(){
    //io加速
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin>>n>>m;
    //总共m个操作
    while(m--){
        int k,a,b;
        cin>>k>>a>>b;
        if(k==0){//k=0时表示将a处数字加上b
            update(a,b);
        }
        else{//k=1时表示询问区间[a,b]内所有数的和
            cout<<query(b)-query(a-1)<<"\n";
        }
    }
    return 0;
}

版本二：线段树

(注：代码中的 lazy 标记在"单点修改"中无需使用，但为了向"区间修改"过渡，我予以保留并注释说明)