【数据结构与算法】第48篇：算法思想（三）：贪心算法

对比项	贪心算法	动态规划
决策方式	单次决策，不回头	考虑所有可能性
子问题重叠	不一定	必然
典型问题	活动选择、找零	背包、LCS
时间复杂度	通常 O(n) 或 O(n log n)	通常 O(n²) 或更高
全局最优保证	需要证明	总是保证

二、经典问题一：活动选择问题

2.1 问题描述

有 n 个活动，每个活动有开始时间 s[i] 和结束时间 f[i]。活动不能同时进行（时间不能重叠）。求最多能安排多少个活动。

贪心策略：每次选择结束时间最早且与已选活动不冲突的活动。

2.2 贪心证明思路

为什么选结束时间最早的是最优？

选结束时间最早的活动，能为剩余活动留出最多的时间
这个选择不会比任何最优解差

2.3 代码实现

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 活动结构体
typedef struct {
    int start;
    int finish;
} Activity;

// 按结束时间排序（升序）
int cmp(const void *a, const void *b) {
    return ((Activity*)a)->finish - ((Activity*)b)->finish;
}

// 贪心算法选择活动
int activitySelection(Activity activities[], int n) {
    if (n == 0) return 0;
    
    // 1. 按结束时间排序
    qsort(activities, n, sizeof(Activity), cmp);
    
    // 2. 贪心选择
    int count = 1;
    int lastFinish = activities[0].finish;
    
    printf("选中的活动: (0, %d)\n", activities[0].finish);
    
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (activities[i].start >= lastFinish) {
            printf("选中的活动: (%d, %d)\n", activities[i].start, activities[i].finish);
            count++;
            lastFinish = activities[i].finish;
        }
    }
    
    return count;
}

int main() {
    Activity activities[] = {
        {1, 4}, {3, 5}, {0, 6}, {5, 7}, {3, 9},
        {5, 9}, {6, 10}, {8, 11}, {8, 12}, {2, 14}, {12, 16}
    };
    int n = sizeof(activities) / sizeof(activities[0]);
    
    int result = activitySelection(activities, n);
    printf("最多可安排活动数: %d\n", result);
    
    return 0;
}

运行结果：

text

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选中的活动: (0, 4)
选中的活动: (5, 7)
选中的活动: (8, 11)
选中的活动: (12, 16)
最多可安排活动数: 4

2.4 复杂度分析

排序：O(n log n)
贪心选择：O(n)
总时间复杂度：O(n log n)

三、经典问题二：找零问题

3.1 问题描述

给定面额数组 coins（假设无限供应）和金额 amount，求最少需要多少枚硬币。

贪心策略：每次用最大面额不超过剩余金额的硬币。

3.2 贪心的局限性

贪心算法不一定对所有硬币系统都正确。

硬币系统	金额	贪心结果	最优结果	是否正确
1,5,10,25（标准）	30	25+5 → 2枚	10+10+10 → 3枚	✓
1,3,4	6	4+1+1 → 3枚	3+3 → 2枚	✗

3.3 代码实现（贪心）

复制代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 按面额降序排序
int cmpDesc(const void *a, const void *b) {
    return *(int*)b - *(int*)a;
}

// 贪心找零
void greedyCoinChange(int coins[], int n, int amount) {
    qsort(coins, n, sizeof(int), cmpDesc);
    
    printf("贪心找零 %d 元: ", amount);
    int remaining = amount;
    
    for (int i = 0; i < n && remaining > 0; i++) {
        if (remaining >= coins[i]) {
            int count = remaining / coins[i];
            printf("%d枚%d元 ", count, coins[i]);
            remaining -= count * coins[i];
        }
    }
    
    if (remaining > 0) {
        printf("无法找零");
    }
    printf("\n");
}

int main() {
    int coins1[] = {1, 5, 10, 25};
    int coins2[] = {1, 3, 4};
    
    greedyCoinChange(coins1, 4, 30);
    greedyCoinChange(coins2, 3, 6);
    
    return 0;
}

运行结果：

text

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贪心找零 30 元: 1枚25元 1枚5元 
贪心找零 6 元: 1枚4元 2枚1元

四、贪心算法的正确性条件

4.1 贪心选择性质

定义：问题的全局最优解可以通过一系列局部最优选择（贪心选择）得到。

证明方法：

假设有一个最优解
证明可以将其改造为包含贪心选择的解
用数学归纳法或反证法

4.2 最优子结构

定义：问题的最优解包含子问题的最优解。

活动选择问题满足最优子结构：去掉贪心选择的活动后，剩余子问题的最优解加上这个活动就是全局最优解。

五、其他贪心算法经典问题

问题	贪心策略	时间复杂度
哈夫曼编码	每次合并频率最小的两个节点	O(n log n)
最小生成树（Prim/Kruskal）	每次选最小权边	O(E log V)
最短路径（Dijkstra）	每次选距离最小的顶点	O(V²) 或 O(E log V)
区间覆盖	每次选能覆盖最远右端点的区间	O(n log n)
任务调度（最小化总完成时间）	按处理时间升序	O(n log n)

六、贪心算法解题模板

复制代码

// 贪心算法通用框架
void greedy() {
    // 1. 按某种规则排序（如果需要）
    sort(data);
    
    // 2. 初始化结果
    result = initial;
    
    // 3. 贪心选择
    for (each element in sorted order) {
        if (符合条件) {
            选择当前元素;
            更新状态;
        }
    }
}

七、贪心 vs DP 选择指南

问题特征	推荐算法
可以证明贪心选择性质	贪心（更高效）
需要考虑多种可能性	DP
子问题重叠明显	DP
只需局部最优决策	贪心
可分解为独立子问题	分治或贪心

判断方法：

尝试贪心策略，看能否举出反例
如果不能，考虑DP
如果DP太慢，尝试证明贪心正确

八、小结

这一篇我们学习了贪心算法：

要点	说明
核心思想	每次选当前最优，希望达到全局最优
活动选择	选结束时间最早的，复杂度 O(n log n)
找零问题	用最大面额优先，但不一定正确
正确性条件	贪心选择性质 + 最优子结构
适用范围	图论（MST、最短路）、调度、哈夫曼编码

贪心 vs DP：

贪心：局部最优 → 全局最优（需要证明）
DP：考虑所有可能性 → 全局最优（保证正确）

学习建议：

多练习判断问题是否适合贪心
学会举反例推翻错误贪心策略
掌握常见贪心问题（活动选择、哈夫曼、区间覆盖）

下一篇我们讲代码调试技巧与常见内存错误排查。

九、思考题

活动选择问题中，如果改成选开始时间最早或持续时间最短，能得到最优解吗？为什么？
硬币系统 {1, 5, 10, 25} 中贪心总是正确的，但 {1, 3, 4} 中不对。硬币系统满足什么条件时贪心正确？
如何用贪心算法解决"用最少的箭射爆所有气球"问题？
如果活动有时间权重（每个活动有不同价值），如何用DP解决？

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