csp信奥赛C++高频考点专项训练之贪心算法 --【线性扫描贪心】：士兵站队
题目描述
在一个划分成网格的操场上， n n n 个士兵散乱地站在网格点上，由整数坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y) 表示。
士兵们可以沿网格边上、下、左、右移动一步，但在同时刻任一网格点上只能有 1 名士兵。
按照军官的命令，他们要整齐地列成一个水平队列，即排成队列，即排成 ( x , y ) , ( x + 1 , y ) , ... , ( x + n − 1 , y ) (x,y),(x+1,y),\ldots,(x+n-1,y) (x,y),(x+1,y),...,(x+n−1,y)。请求出如何选择 x x x 和 y y y 的值才能使士兵们以最少的总移动步数排成一列。
输入格式
输入的第一行是一个整数，代表士兵数 n n n。
第 2 2 2 到 ( n + 1 ) (n + 1) (n+1) 行，每行 2 2 2 个整数，第 ( i + 1 ) (i + 1) (i+1) 行的整数 x i , y i x_i, y_i xi,yi 代表第 i i i 个士兵的坐标。
输出格式
输出一行一个整数，代表答案。
输入输出样例 1
输入 1
5
1 2
2 2
1 3
3 -2
3 3输出 1
8说明/提示
对于 100 % 100\% 100% 的数据，保证 1 ≤ n ≤ 10 4 1 \leq n \leq 10^4 1≤n≤104， − 10 4 ≤ x , y ≤ 10 4 -10^4 \leq x,y \leq 10^4 −104≤x,y≤104。
思路分析
士兵只能沿网格上下左右移动，最终要排成水平连续的一行：(x, y), (x+1, y), ..., (x+n-1, y)。
总移动步数 = 所有士兵纵向移动步数之和 + 所有士兵横向移动步数之和。
两个方向可以独立求解。
1. 纵向（y 方向）
所有士兵最终 y 坐标相同，设为 y0。
移动步数 = ∑|y_i - y0|。
根据绝对值函数性质，y0 取所有 y_i 的中位数时总和最小。
- 将
y数组排序，中位数 =y[n/2]（0‑based 下标）。 - 计算 ∑ ∣ y i − y m e d i a n ∣ ∑|y_i - y_{median}| ∑∣yi−ymedian∣ 得到纵向步数。
2. 横向（x 方向）
最终 x 坐标是连续整数：x0, x0+1, ..., x0+n-1。
设士兵按初始 x 坐标从小到大排序为 x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn。
为了总移动步数最小，应让第 i 小的士兵移动到 x0 + i（i 从 0 开始），否则路径交叉会增加步数。
于是横向步数 = ∑ ∣ x i − ( x 0 + i ) ∣ = ∑ ∣ ( x i − i ) − x 0 ∣ ∑|x_i - (x0 + i)| = ∑|(x_i - i) - x0| ∑∣xi−(x0+i)∣=∑∣(xi−i)−x0∣。
令 a i = x i − i a_i = x_i - i ai=xi−i，问题变为求 ∑ ∣ a i − x 0 ∣ ∑|a_i - x0| ∑∣ai−x0∣ 的最小值。
同理，x0 取 a_i 的中位数时总和最小。
- 将
x数组排序。 - 构造
a[i] = x[i] - i（i 从 0 开始）。 - 对
a排序，中位数 =a[n/2]。 - 计算 ∑ ∣ a i − a m e d i a n ∣ ∑|a_i - a_{median}| ∑∣ai−amedian∣ 得到横向步数。
3. 总步数
纵向步数 + 横向步数 = 最终答案。
时间复杂度 O(n log n)，空间复杂度 O(n)，满足 n ≤ 10 4 n ≤ 10^4 n≤104 的要求。
代码实现
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;// 士兵数量
int x[10005], y[10005]; // 坐标数组
int main(){
cin>>n; // 输入士兵数
for(int i=0;i<n;i++) cin>>x[i]>>y[i]; // 输入每个士兵的坐标
// ---------- 纵向处理 ----------
sort(y, y+n); // y坐标升序排序
int my = y[n/2]; // 取中位数（0‑based下标）
long long ans = 0; // 总步数，用long long防止溢出
for(int i=0;i<n;i++) ans += abs(y[i] - my); // 累加纵向步数
// ---------- 横向处理 ----------
sort(x, x+n); // x坐标升序排序
for(int i=0;i<n;i++) x[i] -= i; // 构造 a[i] = x[i] - i
sort(x, x+n); // 对a数组排序
int mx = x[n/2]; // 取中位数作为最优x0
for(int i=0;i<n;i++) ans += abs(x[i] - mx); // 累加横向步数
cout<<ans<<endl; // 输出最少总步数
return 0;
}功能分析
- 输入处理 ：读取士兵数量
n和每个士兵的坐标(x, y)。 - 纵向最优化 ：通过对
y坐标排序并取中位数，计算出所有士兵移动到同一行的最少步数。 - 横向最优化 ：先对
x排序，再变换为a[i] = x[i] - i，排序后取中位数，得到排成连续水平列的最少横向移动步数。 - 结果输出：将纵向与横向步数相加，输出总最少步数。
- 正确性保证：利用了绝对值函数取中位数最优的性质以及排序不等式，确保不出现交叉移动，同时忽略"同一时刻网格点不能有两人"的限制（经典结论：该限制不影响最少步数，可通过调整移动顺序避免冲突）。
- 性能 ：排序时间复杂度
O(n log n)，对于 n ≤ 10 4 n ≤ 10^4 n≤104 可在毫秒级完成；使用long long避免中间结果溢出。
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cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
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cout<<"###### 课程购买后永久学习，不受限制! ######";
return 0;
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· 文末祝福 ·
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
cout<<"跟着王老师一起学习信奥赛C++";
cout<<" 成就更好的自己！ ";
cout<<" csp信奥赛一等奖属于你! ";
return 0;
}