数据结构概念和算法、时间复杂度、空间复杂度引入

目录

一、数据结构

1.1、概念

1.2、算法

二、复杂度

2.1、概念

2.2、时间复杂度

2.3、大O的渐进表示法

2.4、空间复杂度

一、数据结构

1.1、概念

数据结构是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在⼀种或多种特定关系的数据元素的集合。

1.2、算法

算法:就是定义良好的计算过程，他有⼀个或多个的输入，并产生出⼀个或多个值作为输出。简单来说算法就是⼀系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

如：输入无序的数组，输出有序的数组

哪一道算法题可能有多种解题思路，那哪一种更好？如何评估算法的好坏？
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void rotate(int* nums, int numsSize, int k)
{
 while(k--)
 {
  int tmp = nums[numsSize-1];
  for(int i = numsSize - 1;i > 0 ;i--)
  {
   nums[i] = nums[i-1];
  }
 nums[0] = tmp;
 }
}
从这可以看出，算法的设计的不同会影响程序执行的效率

二、复杂度

2.1、概念

算法在执行后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量⼀个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度主要衡量⼀个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量以一个算法运行所需要的额外空间。

2.2、时间复杂度

算法的时间复杂度是⼀个函数式T(N)，它定量描述了该算法的运⾏时间。时间复杂度是衡量程序的时间效率
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void BUbblesort(int * arr,int n)
{
 for(int i = 0;i < n - 1;i++)
 {
  for(ing j = i;j < n - i -1;j++)
  {
   if(arr[j] >arr[j+1])
   {
    int tmp = arr[j];
    arr[j] = arr[j+1]；
    arr[j+1] = tmp;
   }
  }
 } 
}


int main()
{
 int n = 10000;
 int * arr = (int *)malloc(sizeof(int) * n);
 for(int i = 0; i < n;i++)
 {
  arr[i] = 100;
 }
 int start = clock();
 BUbblesort(arr,n); 
 int end =clock();
 printf("timr:%d\n",end - start);
 return 0;
}
多次运行之后

对于程序而言是无法计算程序的运行时间的，这受很多因素影响

因为程序运行时间和编译环境和运行机器的配置都有关系，比如同⼀个算法程序，用一个老编译器进行编译和新编译器编译，在同样机器下运行时间不同

同⼀个算法程序，用一个老低配置机器和新高配置机器，运行时间也不同

并且时间只能程序写好后测试，不能写程序前通过理论思想计算评估

这个T(N)函数式计算了程序的执行次数。通过程序代码或理论思想计算出程序的执行次数的函数式T(N)，假设每句指令执行时间基本⼀样，那么执行次数和运行时间就是等比正相关，执行次数就可以代表程序时间效率的优劣。
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void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
}
这其中对N影响最大的是N ^ 2

计算时间复杂度只是想比较算法程序的增长量级，也就是当N不断变大时T(N)的差别

计算程序能代表增长量级的大概执行次数，复杂度的表示通常使用大O的渐进表示法。

2.3、大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

推导大O阶规则：

1. 时间复杂度函数式T(N)中，只保留最高阶项，去掉那些低阶项，因为当N不断变大时，低阶项对结果影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了。

2. 如果最高阶项存在且不是1，则去除这个项目的常数系数，因为当N不断变大，这个系数对结果影响越来越小，当N无穷大时，就可以忽略不计了。

3. T(N)中如果没有N相关的项目，只有常数项，用常数1取代所有加法常数。

题目1：
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void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
执行的基本操作次数： T (N) = 2N + 10

根据推导规则第3条得出时间复杂度为： O(N)

题目2：
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void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++
k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
同理：
Func3执行的基本操作次数： T (N) = M + N

因为M和N都影响程序的执行，所以时间复杂度为：O(N) = M + N

如果m == n ,那时间复杂度就是O（M）/ O（N）

如果m > n ,那时间复杂度就是O（M）

如果m < n ,那时间复杂度就是O（N）

题目3：
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void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}
T (N) = 100 根据推导规则第1条得出 Func4的时间复杂度为： O(1)

题目4：
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const char * strchr ( const char
* str, char character)
{
const char* p_begin = s;
while (*p_begin != character)
{
if (*p_begin == '\0')
return NULL;
p_begin++;
}
return p_begin;
}
strchr执行的基本操作次数：

若要查找的字符在字符串第⼀个位置，则： T (N) = 1

若要查找的字符在字符串最后的⼀个位置，则： T (N) = N

若要查找的字符在字符串中间位置，则： T (N) = N / 2

因此：strchr的时间复杂度分为：最好情况： O(1) 最坏情况： O(N) 平均情况： O(N)

通过上⾯我们会发现，有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况。

最坏情况：任意输⼊规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输⼊规模的期望运行次数

最好情况：任意输⼊规模的最小运行次数(下界) 大O的渐进表示法在实际中⼀般情况关注的是算法的上界，也就是最坏运行情况。

题目5：
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void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}
若数组本身就有序，则： T (N) = N

若数组本身有序且为降序，则： T (N) = （N-1）* N / 2

若要查找的字符在字符串中间位置，则：

BubbleSort的时间复杂度取最况为： O(N ^ 2)

题目6：
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void func5(int n)
{
int cnt = 1;
while (cnt < n)
{
cnt *= 2;
}
}
当n=2时，执行次数为1

当n=4时，执行次数为2

当n=16时，执行次数为4

假设执行次数为 x ，则 2^x = n

因此执行次数： x = log n

所以func5的时间复杂度取最差情况为： O(log n)

底数的大小对结果影响不大，可以不写

题目7：
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long long Fac(size_t N)
{
 if(0==N)
   return 1;
 return Fac(N-1)*N;
}
递归算法的时间复杂度 = 单词递归的时间复杂度 * 递归次数

所以fac的时间复杂度为O（N）

2.4、空间复杂度

空间复杂度是数学表达式，是对⼀个算法在运行时算法需要额外临时开辟的空间。

空间复杂度不是程序占用了多少字节的空间，因为常规情况每个对象大小差异不会很大，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。
注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、⼀些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定