P2430 严酷的训练

记录105

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[5010];
int ti[110];
int main(){	
	int a,a1,a2,m,n;//二人比例，同学水平，老师水平，题目数，知识数 
	cin>>a1>>a2;//同学水平，老师水平
	a=a2/a1;//二人比例 
	cin>>m>>n;//题目的总数m 和知识点的总数n
	int t;//对应知识点的时间 
	for(int i=1;i<=n;i++){//n个知识点
		cin>>t;//输入时间 
		ti[i]=t*a;//同学做这个知识点的时间 
	}
	int p,q;//p表示该题目所属的知识点，q表示该题目对应的奖励值 
	for(int i=1;i<=m;i++){//m个题目 
		cin>>p>>q;//输入 
		for(int j=5000;j>=ti[p];j--){//背包装 
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-ti[p]]+q);//一直装下去 
		}
	}
	int num;//规定时间 
	cin>>num;//输入 
	cout<<dp[num];//输出 
	return 0;//结束程序 
}

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P2430

突破口

WKY 和老王都有一个水平值，他们水平值的比值和做这些题所用时间的比值成反比。比如如果 WKY 的水平值是 1，老王的水平值是 2，那么 WKY 做同一道题的时间就是老王的 2 倍。

现在 WKY 同学请你帮忙，计算在老王规定的时间内，WKY 所能得到最大奖励值是多少。

🔍 一、题目核心理解

🎯 问题描述

有 m 道题目 ，每道题属于某个知识点 p（1 ≤ p ≤ n）
每个知识点 i 有一个 老王做该类题的时间 t_i
WKY 的水平值为 a1，老王为 a2，且 a2 是 a1 的整数倍
WKY 做某知识点题的时间 = 老王时间 × (a2 / a1)
- 因为：水平比 = a1 : a2 → 时间比 = a2 : a1（反比）

✅ 举例：WKY 水平=1，老王=2 → WKY 花费时间是老王的 2 倍

每道题有一个奖励值 q
给定总时间上限 num
目标：选择若干题目，在总时间 ≤ num 的前提下，最大化总奖励值

💡 注意：同一知识点下的不同题目，对 WKY 来说耗时相同（因为只依赖知识点）

→ 这是一个标准的 0-1 背包问题：

每道题是一个物品
"重量" = 该题所属知识点的 WKY 耗时
"价值" = 奖励值 q
背包容量 = 总时间上限

📌 输入样例解析（输入 #1）

cpp 复制代码

1 2        → a1=1, a2=2 → 比例 a=2
6 4        → m=6题, n=4知识点
1 2 3 4    → 老王做各知识点时间
题目：
1 5   → 知识点1，奖励5 → WKY耗时=1×2=2
2 6   → 耗时=2×2=4，奖励6
3 3   → 耗时=3×2=6，奖励3
4 8   → 耗时=4×2=8，奖励8
3 3   → 耗时=6，奖励3
4 5   → 耗时=8，奖励5
20        → 总时间上限

可能的最优选择：

选题1（2,5）、题2（4,6）、题3（6,3）、题5（6,3）、题6（8,5）
总时间 = 2+4+6+6+8 = 26 > 20 ❌

尝试：

题1(2,5) + 题2(4,6) + 题4(8,8) + 题5(6,3) → 2+4+8+6=20，奖励=5+6+8+3=22 ✅

输出：22

🧠 二、解题思路：0-1 背包

步骤

读入 WKY 和老王的水平值，计算时间放大比例 a = a2 / a1
读入每个知识点的老王耗时，乘以 a 得到 WKY 耗时 ti[i]
对每道题：
- 知道它属于知识点 p
- 它的"重量" = ti[p]
- "价值" = q
做标准 0-1 背包：
- dp[j] = 在时间 j 内能获得的最大奖励
- 倒序更新
输出 dp[num]

代码分析

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[5010];   // dp[t] = 时间t内能获得的最大奖励（时间上限≤5000）
int ti[110];    // ti[i] = WKY做知识点i的题目所需时间（n≤100）

dp 大小 5010：因规定时间 ≤5000
ti 大小 110：因 n ≤100

cpp 复制代码

int main(){	
    int a, a1, a2, m, n;
    cin >> a1 >> a2; // WKY水平，老王水平
    a = a2 / a1;     // 时间放大比例（整数）

题目保证 a2 是 a1 的整数倍 → a 为整数

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    cin >> m >> n; // 题目总数m，知识点总数n

cpp 复制代码

    int t;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> t;          // 老王做知识点i的时间
        ti[i] = t * a;     // WKY做该知识点题的时间
    }

预处理每个知识点的 WKY 耗时

cpp 复制代码

    int p, q;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        cin >> p >> q; // 题目所属知识点p，奖励q
        for(int j = 5000; j >= ti[p]; j--){
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - ti[p]] + q);
        }
    }

🔄 背包更新：

每道题视为一个独立物品
"重量" = ti[p]（该题所属知识点的 WKY 耗时）
"价值" = q
倒序遍历时间 j，防止重复选择（0-1 背包标准做法）

✅ 即使多个题目属于同一知识点，它们的"重量"相同，但仍是不同物品，可分别选或不选

cpp 复制代码

    int num;
    cin >> num; // 规定的时间上限
    cout << dp[num]; // 输出最大奖励
    return 0;
}

dp[num] 表示在时间 ≤ num 下的最大奖励（因为 DP 是"不超过容量"的最大值）

⚠️ 关键细节说明

细节	说明
`dp` 初始化？	全局数组 → 自动初始化为 0，正确（不选任何题，奖励为 0）
为什么倒序？	防止同一题目被多次选择（虽然是不同题，但若正序，可能在一轮中多次更新）
同一知识点多题？	没问题！每道题独立处理，即使耗时相同，也是不同物品
时间放大比例？	`a = a2 / a1`，题目保证整除，无精度问题

总结：问题与解法对应

题目要素	背包模型
每道题	物品
WKY 做题时间	重量（由知识点决定）
奖励值	价值
总时间上限	背包容量
最大化奖励	0-1 背包求最大价值