P1877 [HAOI2012] 音量调节

记录106

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool dp[55][1010];//第几首歌，音量 
int main(){	
	int n,bL,mL,t;//歌曲数，开始音量，最大音量，每次改变 
	cin>>n>>bL>>mL;//输入 
	dp[0][bL]=1;//初始化dp数组 
	for(int i=1;i<=n;i++){//每首歌遍历 
		cin>>t;//输入改变音量 
		for(int j=mL;j>=0;j--){//开始核对音量合法性 
			if(j-t>=0&&dp[i-1][j-t]) dp[i][j]=1;//调低 
			if(j+t>=0&&dp[i-1][j+t]) dp[i][j]=1;//调高 
		}//本首音量根据上一首歌曲的音量来调节 
	}//i为歌曲数，j为音量 
	for(int j=mL;j>=0;j--){//找最大音量 
		if(dp[n][j]==1){//找到了 
			cout<<j;//输出 
			return 0;//结束程序 
		}
	}
	cout<<-1;//无法避免音量低于，或者高于最大值 
	return 0;//结束程序 
}

题目传送门https://www.luogu.com.cn/problem/P1877

突破口

一个吉他手准备参加一场演出。他不喜欢在演出时始终使用同一个音量，所以他决定每一首歌之前他都需要改变一次音量。在演出开始之前，他已经做好一个列表，里面写着每首歌开始之前他想要改变的音量是多少。每一次改变音量，他可以选择调高也可以调低。

音量用一个整数描述。输入文件中整数 beginLevel，代表吉他刚开始的音量，整数 maxLevel，代表吉他的最大音量。音量不能小于 0 也不能大于 maxLevel。输入中还给定了 n 个整数 c1,c2,c3,⋯,cn，表示在第 i 首歌开始之前吉他手想要改变的音量是多少。

吉他手想以最大的音量演奏最后一首歌，你的任务是找到这个最大音量是多少。

🔍 一、题目核心理解

🎯 问题描述

吉他手初始音量为 beginLevel
有 n 首歌，每首歌前要改变一次音量
第 i 次改变的绝对值 为 c_i（即可以 +c_i 或 -c_i）
音量必须始终满足：0 ≤ 音量 ≤ maxLevel
目标：在合法的前提下，使第 n 首歌开始时的音量最大

✅ 注意：改变发生在"每首歌开始之前"，所以经过 n 次调整后，得到的是最后一首歌的演奏音量

📌 关键约束

不能低于 0，不能高于 maxLevel
如果任何一步无法合法调整 （即没有可行路径），输出 -1

🧠 解题思路：动态规划（可行性 DP）

这是一个典型的 状态转移可行性问题：

定义 dp[i][v] = true 表示：在第 i 首歌开始前（即完成 i 次调整后），音量可以达到 v
初始状态：dp[0][beginLevel] = true
转移：
- 从 dp[i-1][v_prev] 出发
- 可以变为 v_prev + c_i（调高）或 v_prev - c_i（调低）
- 若结果在 [0, maxLevel] 内，则标记 dp[i][new_v] = true
最终答案：在 dp[n][v] 中找最大的 v（从 maxLevel 往下找）

💡 因为只要判断"是否可达"，用 布尔型 DP 即可

代码分析

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool dp[55][1010]; // dp[i][j]：第 i 首歌开始前能否达到音量 j

55：因为 n ≤ 50，所以最多 50 首歌，i=0..50
1010：因为 maxLevel ≤ 1000，音量范围 0..1000

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int main(){	
    int n, bL, mL, t;
    cin >> n >> bL >> mL; // 读入：歌曲数、初始音量、最大音量

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    dp[0][bL] = 1; // 初始状态：0 次调整后，音量为 beginLevel

dp[0][v] 表示还没开始调整（演出前）的状态

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    for(int i = 1; i <= n; i++){ // 处理第 i 首歌前的第 i 次调整
        cin >> t; // 读入第 i 次要改变的音量绝对值 c_i

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        for(int j = mL; j >= 0; j--){ // 枚举当前可能的音量 j

⚠️ 注意：这里 j 是调整后的音量（即第 i 首歌开始时的音量）

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            if(j - t >= 0 && dp[i-1][j - t]) 
                dp[i][j] = 1; // 调高：上一状态是 j-t，加 t 得到 j

如果上一状态音量是 j - t，这次调高 t ，得到 j
需要 j - t ≥ 0（上一状态合法）

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            if(j + t >= 0 && dp[i-1][j + t]) 
                dp[i][j] = 1; // 调低：上一状态是 j+t，减 t 得到 j

如果上一状态音量是 j + t，这次调低 t ，得到 j
注意：j + t 可能 > mL，但 dp[i-1][j+t] 在那种情况下本来就是 false（因为之前已限制范围）
j + t >= 0 其实恒成立（因 j≥0, t≥1），但写上无妨

✅ 这两个 if 覆盖了所有可能到达 j 的方式

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        }
    }

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    for(int j = mL; j >= 0; j--){ // 从最大音量往下找
        if(dp[n][j] == 1){
            cout << j;
            return 0;
        }
    }

找到最大的合法最终音量，立即输出并退出

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    cout << -1;
    return 0;
}

如果没有任何 dp[n][j] 为 true → 无法完成所有调整而不越界 → 输出 -1

🧪 样例验证（输入 #1）

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3 5 10
5 3 7

过程：

初始：dp[0][5] = true
第1次（t=5）：
- 可达：5+5=10，5-5=0 → dp[1][10]=dp[1][0]=true
第2次（t=3）：
- 从10：10+3=13（>10，无效），10-3=7 → dp[2][7]=true
- 从0：0+3=3，0-3=-3（无效）→ dp[2][3]=true
第3次（t=7）：
- 从7：7+7=14（无效），7-7=0 → dp[3][0]=true
- 从3：3+7=10，3-7=-4（无效）→ dp[3][10]=true
最终：dp[3][10] = true → 输出 10 ✅

⚠️ 关键细节说明

细节	说明
数组大小	`dp[55][1010]` 完全覆盖 `n≤50`, `maxLevel≤1000`
初始化	全局 `bool` 数组默认为 `false`，只设 `dp[0][bL]=true` 正确
内层循环顺序	从 `mL` 到 `0` 无影响（因为读的是 `i-1` 层，写的是 `i` 层，无覆盖问题）
边界检查	`j-t >= 0` 防止负音量；`j+t` 虽可能超 `mL`，但 `dp[i-1][j+t]` 为 `false`，安全

总结：问题与解法对应

题目要求	DP 设计
每次 ±c_i	状态转移两种方向
音量 ∈ [0, maxLevel]	转移时检查合法性
最大化最终音量	从高到低扫描 `dp[n][*]`
无法完成则 -1	若无可达状态，输出 -1