矩阵中的“对角线强迫症”：如何优雅地判断Toeplitz矩阵？

举个栗子 🌰

例子1：

矩阵：

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[6, 7, 8]
[4, 6, 7]
[1, 4, 6]

它的对角线分别是： $6,6,6$ , $7,7$ , $8$ , $4,4$ , $1$ ，每条对角线上的数字都相同，所以它是Toeplitz矩阵 ✅

例子2：

矩阵：

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[6, 3, 8]
[4, 9, 7]
[1, 4, 6]

主对角线是 $6,9,6$ ，元素不一样，所以它不是Toeplitz矩阵 ❌

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解法一：遍历每条对角线（O(n²)时间，O(1)空间）

思路很直接：以第一行和第一列的每个元素为起点，沿着对角线往下检查，确保所有元素都和起点相同。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;

bool checkDiagonal(vector<vector<int>> &mat, int x, int y) {
    int n = mat.size(), m = mat[0].size();
    for(int i = x + 1, j = y + 1; i < n && j < m; i++, j++) {
        if(mat[i][j] != mat[x][y])
            return false;
    }
    return true;
}

bool isToeplitz(vector<vector<int>> &mat) {
    int n = mat.size(), m = mat[0].size();
    for(int i = 0; i < m; i++)
        if(!checkDiagonal(mat, 0, i))
            return false;
    for(int i = 0; i < n; i++) 
        if(!checkDiagonal(mat, i, 0))
            return false;
    return true;
}

int main() {
    vector<vector<int>> mat = {
        {6, 7, 8},
        {4, 6, 7},
        {1, 4, 6}
    };
    cout << (isToeplitz(mat) ? "true" : "false");
    return 0;
}

解法二：检查每个元素的左上邻居（O(n²)时间，O(1)空间）

这个解法更简洁！核心思想是：对于矩阵中除了第一行和第一列之外的每个元素，它必须等于它左上角的那个元素。因为对角线上的元素都是通过"向右下移动"连接的。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;

bool isToeplitz(vector<vector<int>> &mat) {
    int n = mat.size(), m = mat[0].size();
    for(int i = 1; i < n; i++) {
        for(int j = 1; j < m; j++) {
            if(mat[i][j] != mat[i - 1][j - 1])
                return false;
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    vector<vector<int>> mat = {
        {6, 7, 8},
        {4, 6, 7},
        {1, 4, 6}
    };
    cout << (isToeplitz(mat) ? "true" : "false");
    return 0;
}

总结

两种方法的时间复杂度都是O(n²)，空间复杂度O(1)。方法一更符合定义，方法二更简洁优雅。推荐使用第二种，代码短且不容易出错。

Toeplitz矩阵在信号处理、数值分析等领域有广泛应用，掌握这个判断方法还是很有必要的哦！