本文涉及知识点
第二章 空间的平面和直线
1 仿射坐标系中平面的方程，两平面的相关位置
1.1 平面的参数方程和普通方程
参数形式，一个点和两个不平行的两个向量。即： P = P 0 + λ u ⃗ + μ v ⃗ , u ∦ v P=P_0+\lambda\vec u+\mu \vec v,u \nparallel v P=P0+λu +μv ,u∦v
平面的普通方程：Ax+By+cZ+D=0,ABCD不全为0。
定理2.1 设平面 π \pi π的方程式(2.3)，则向量 ω ( r , s , t ) \omega(r,s,t) ω(r,s,t)平行于平面 π \pi π的充分必要条件是: A r + B s + C t = 0 Ar+Bs+Ct=0 Ar+Bs+Ct=0。
推理2.1 平面方程的一般形式，平行于x轴(或y轴或z轴)的充分必要条件是A=0(或B=0或C=0)。平面过原点的充分必要条件是D=0。
定理2.2：在空间中取定一个仿射坐标系统,则平面的方程必定三元一次方程；反之，任意一个三元一次方程表示一个平面。
1.2 两平面的相关位置
定理2.3 取定一个仿射标架，设平面 π 1 和 π 2 \pi_1和\pi_2 π1和π2的方程式：
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A_1x+B_1y+C_1z+D1=0 A1x+B1y+C1z+D1=0
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A_2x+B_2y+C_2z+D2=0 A2x+B2y+C2z+D2=0
(1), π 1 , π 2 \pi_1,\pi_2 π1,π2重合的条件是系数成比例（一次项系数，常数项系数）。
(2), π 1 , π 2 \pi_1,\pi_2 π1,π2平行的条件是一次项系数成比例。
(3), π 1 , π 2 \pi_1,\pi_2 π1,π2相交的条件是一次项系数不成比例。
1.3 三平面交于一点的条件
命题2.1 设三个平面在仿射坐标系中的方程为：
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0 A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0
则这三个平面交于一点的充分必要条件是：
∣ A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 A 3 B 3 C 3 ∣ ≠ 0 \begin{vmatrix} A_1&B_1&C_1\\ A_2&B_2&C_2\\ A_3&B_3&C_3\\ \end{vmatrix}\neq 0 A1A2A3B1B2B3C1C2C3 =0
利用兰姆达法则，可以进一步求交点。
2 直角坐标系中平面的方程，点到平面的距离
2.1 直角坐标系中平面方程的系统的几何含义
平面的法线就是方程的一次项系数。
2.2 点到平面的距离
离差 δ = A x 1 + B y 1 + c 1 Z + D A 2 + B 2 + C 2 \delta=\frac{Ax_1+By_1+c_1Z+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} δ=A2+B2+C2 Ax1+By1+c1Z+D
点到平面的距离：离差的绝对子。
2.3 三元一次不等式的几何含义
平面 π \pi πAx+By+cZ+D=0，将空间所有不在 π \pi π的点分成两部分，一部分属于Ax+By+Cz>0，一部分属于Ax+By+cZ<0。此结论对仿射坐标系也有效。
2.4 两个平面的夹角
两个平面的夹角=平面法向量 n 1 ⃗ n 2 ⃗ \vec{n1}\vec{n2} n1 n2 ，平面垂直就是发向量的点乘为0。
3 直线的方程，直线、平面间的相关位置
3.1 直线的方程
向量式参数方程： r ⃗ = r 0 + t v ⃗ \vec r=r_0+ t \vec v r =r0+tv
参数方程： { x = x 0 + t X y = y 0 + t Y z = z 0 + t Z \begin{cases} x=x_0+t X\\ y=y_0+t Y\\ z=z_0+t Z \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x=x0+tXy=y0+tYz=z0+tZ
标准方程（点向式方程): x − x 0 X = y − y 0 Y = z − z 0 Z \frac{x-x_0}{X}=\frac{y-y_0}{Y}=\frac{z-z_0}{Z} Xx−x0=Yy−y0=Zz−z0
两点式方程: x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 = z − z 1 z 2 − z 1 \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1} x2−x1x−x1=y2−y1y−y1=z2−z1z−z1
普通方程(一般方程） { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D2=0 \end{cases} {A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0
3.2 两条直线的相关位置
在仿射坐标系统中，设 直 l i 线经过点 M i ( x i , y i , z i ) ，方向向量 v i ( X i , Y i , Z i ) 直l_i线经过点M_i(x_i,y_i,z_i)，方向向量v_i(X_i,Y_i,Z_i) 直li线经过点Mi(xi,yi,zi)，方向向量vi(Xi,Yi,Zi)i=1,2。
l 1 与 l 2 平行的充要条件， v 1 ∥ v 2 ，但 M 1 M 2 ⃗ ∦ v 1 l_1与l_2平行的充要条件，v_1 \parallel v_2，但\vec{M1M2} \nparallel v1 l1与l2平行的充要条件，v1∥v2，但M1M2 ∦v1。
l 1 与 l 2 重合的充分必要条件是 v 1 ∥ v 2 ∥ M 1 M 2 ⃗ l_1与l_2重合的充分必要条件是v_1 \parallel v_2 \parallel \vec{M1M2} l1与l2重合的充分必要条件是v1∥v2∥M1M2
l 1 与 l 2 相交的充分必要条件是 v 1 , v 2 , M 1 M 2 ⃗ 共面，且 v 1 ∦ v 2 l_1与l_2相交的充分必要条件是v1,v2,\vec{M1M2}共面，且v_1 \nparallel v_2 l1与l2相交的充分必要条件是v1,v2,M1M2 共面，且v1∦v2
l 1 与 l 2 异面的充分必要条件是 v 1 , v 2 M 1 M 2 ⃗ 不共面 l_1与l_2异面的充分必要条件是v1,v2 \vec{M1M2}不共面 l1与l2异面的充分必要条件是v1,v2M1M2 不共面
3.3 直线和平面的相关位置
在仿射坐标系中，直线l过点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ，一个方向向量为 v ( X , Y , Z ) ，平面 π 的方程为 A x + B y + C z + D = 0 M_0(x_0,y_0,z_0)，一个方向向量为v(X,Y,Z)，平面\pi的方程为Ax+By+Cz+D=0 M0(x0,y0,z0)，一个方向向量为v(X,Y,Z)，平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0
平行： v ∥ π , 且 M 0 不在 π v \parallel \pi,且M_0不在\pi v∥π,且M0不在π
直线在平面： v ∥ π , 且 M 0 在 π v \parallel \pi,且M_0在\pi v∥π,且M0在π
相交： v ∦ π v \nparallel \pi v∦π
向量和平面平行 ⟺ \iff ⟺ 直线和平面法线垂直
4 点、直线和平面之间的度量关系
本节均在右手直角坐标系中讨论。
4.1 点到直线的距离
已知点M，直线l方向 v ⃗ \vec v v ,经过点 M 0 M_0 M0。
则点M到直线l的有向距离为： M 0 M ⃗ × v ÷ ∣ v ∣ \vec{M0M}\times v \div |v| M0M ×v÷∣v∣
4.2 两点直线之间的距离
定义2.1 两点直线上的点之间的最短距离城为这两条直线间的距离。
定义2.2 ：分别与两条异面直线 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2垂直相交（即正交)的直线l称为 l 1 与 l 2 l1与l2 l1与l2的公垂线，两垂足的连线段称为公垂线段。
命题2.4 两条异面直线 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2的公垂线存在且唯一。
命题2.5 两条异面直线 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2的公垂线的长就是 l 1 与 l 2 l_1与l_2 l1与l2之间的距离。
命题2.6 两条异常直线 l 1 , l 2 l_1,l_2 l1,l2分别过点 M 1 , M 2 M_1,M_2 M1,M2，方向向量分别 v 1 , v 2 v_1,v_2 v1,v2，则l_1,l_2之间的有向距离为：
d = M 1 M 2 ⃗ ⋅ v 1 × v 2 ∣ v 1 × v 2 d=\frac{\vec{M_1M_2} \cdot v_1 \times v_2}{|v_1 \times v_2} d=∣v1×v2M1M2 ⋅v1×v2
4.3 两条直线的夹角，直线和平面的夹角
定义2.3 两直线的夹角规定为它们的方向向量的夹角或补角。
定义2.4 直线l与平面 π ( l 不垂直与 π ) \pi(l不垂直与\pi) π(l不垂直与π)的夹角规定为l与它在 π \pi π上的垂直投影所夹的锐角 θ \theta θ。当两者垂直时，夹角规定为 π 2 \frac {\pi} 2 2π
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操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
