快速求解完全平方数的最少数量

LeetCode279

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入： n =12，输出： 3

解释： 12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入： n =13，输出： 2

解释： 13 = 4 + 9

Python解法

1.BFS

python 复制代码

from collections import deque
class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        # 记录已经处理过的数字，避免重复入队，减少计算
        visited = set()
        # 队列元素：(当前剩余数值, 当前已用平方数个数)
        q = deque()
        # 初始起点：数字n，使用0个平方数
        q.append((n, 0))
        visited.add(n)
        
        # 队列不为空就持续遍历每一层
        while q:
            # 队首出队，处理当前层节点
            cur, step = q.popleft()
            j = 1
            # 枚举所有不大于cur的平方数 j²
            while j*j <= cur:
                next_val = cur - j*j
                # 刚好减到0，找到最少数量：当前step+本次用的1个平方数
                if next_val == 0:
                    return step + 1
                # 没访问过才入队，防止重复循环
                if next_val not in visited:
                    visited.add(next_val)
                    q.append((next_val, step + 1))
                j += 1
        return -1

2.数学方法

python 复制代码

import math
class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        # 判断完全平方数
        def is_square(x):
            y = int(math.sqrt(x))
            return y * y == x
        
        # 判断是否为4^k*(8m+7)
        def check_four(x):
            while x % 4 == 0:
                x //= 4
            return x % 8 == 7
        
        if is_square(n):
            return 1
        if check_four(n):
            return 4
        i = 1
        while i * i <= n:
            rest = n - i*i
            if is_square(rest):
                return 2
            i += 1
        return 3

解释（数学）

1. 拉格朗日四平方和定理

任意正整数，一定能写成最多 4 个完全平方数之和 抖音百科。也就是说，最坏情况只用 4 个，绝对不需要 5 个及以上，答案上限就是 4。

2. 勒让德三平方和定理（关键推论）

一个数不能只用 1、2、3 个平方数凑出来，当且仅当它满足形式：

\(n=4^k \times (8m+7)\) 这种数必须恰好 4 个平方数相加，没有更少方案，直接返回 4。

Java解法

1.BFS

java 复制代码

import java.util.HashSet;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        HashSet<Integer> visited = new HashSet<>();
        Queue<int[]> q = new LinkedList<>();
        q.add(new int[]{n, 0});
        visited.add(n);

        while (!q.isEmpty()) {
            int[] curPair = q.poll();
            int cur = curPair[0];
            int step = curPair[1];

            int j = 1;
            while ((long) j * j <= cur) {
                int nextVal = cur - j * j;
                if (nextVal == 0) {
                    return step + 1;
                }
                if (!visited.contains(nextVal)) {
                    visited.add(nextVal);
                    q.add(new int[]{nextVal, step + 1});
                }
                j++;
            }
        }
        return -1;
    }
}

2.数学方法

java 复制代码

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        if (isSquare(n)) return 1;
        if (checkFour(n)) return 4;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            int rest = n - i * i;
            if (isSquare(rest)) return 2;
        }
        return 3;
    }

    // 判断完全平方数
    private boolean isSquare(int x) {
        int y = (int) Math.sqrt(x);
        return y * y == x;
    }

    // 判断 n = 4^k*(8m+7)
    private boolean checkFour(int x) {
        while (x % 4 == 0) x /= 4;
        return x % 8 == 7;
    }
}

C++解法

1.BFS

cpp 复制代码

#include <queue>
#include <unordered_set>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        unordered_set<int> visited;
        queue<pair<int, int>> q;
        q.push({n, 0});
        visited.insert(n);

        while (!q.empty()) {
            auto [cur, step] = q.front();
            q.pop();

            int j = 1;
            while (1LL * j * j <= cur) {
                int nextVal = cur - j * j;
                if (nextVal == 0) {
                    return step + 1;
                }
                if (!visited.count(nextVal)) {
                    visited.insert(nextVal);
                    q.push({nextVal, step + 1});
                }
                j++;
            }
        }
        return -1;
    }
};

2.数学方法

cpp 复制代码

#include <cmath>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        if (isSquare(n)) return 1;
        if (checkFour(n)) return 4;
        for (int i = 1; 1LL * i * i <= n; ++i) {
            int rest = n - i * i;
            if (isSquare(rest)) return 2;
        }
        return 3;
    }

private:
    bool isSquare(int x) {
        int y = sqrt(x);
        return y * y == x;
    }

    bool checkFour(int x) {
        while (x % 4 == 0) x /= 4;
        return x % 8 == 7;
    }
};