上一课用线性回归预测了房价。但"模型预测出一个数字"还不等于模型可靠。如果真实价格是 200 万，模型预测成 198 万和预测成 120 万显然不是一回事。我们需要一套明确的尺度，量化模型到底错了多少，以及这些错误对业务是否可接受。
先把预测误差说清楚
对每个测试样本，都有一个真实值 y y y 和预测值 y ^ \hat{y} y^：
text
误差 = 预测值 - 真实值正负号只表示高估或低估。评估"错了多少"时，通常会消掉方向，重点看偏差的大小。假设真实配送时长是 30 分钟，预测 28 分钟偏差是 2 分钟，预测 42 分钟偏差是 12 分钟。所有指标都从这些偏差出发，只是对大错的态度不同。
四个指标先一张表速查：
| 指标 | 公式 | 你该关心什么 | 什么时候用它 |
|---|---|---|---|
| MAE | 1 n ∑ ∣ y i − y ^ i ∣ \frac{1}{n}\sum\vert y_i - \hat{y}_i\vert n1∑∣yi−y^i∣ | 平均错多少 | 关心平均误差成本 |
| MSE | 1 n ∑ ( y i − y ^ i ) 2 \frac{1}{n}\sum(y_i - \hat{y}_i)^2 n1∑(yi−y^i)2 | 大错惩罚有多重 | 训练的损失函数（最常用） |
| RMSE | MSE \sqrt{\text{MSE}} MSE | 误差的代表性波动 | 需要和 y 同单位的误差 |
| R² | 1 − ∑ ( y i − y ^ i ) 2 ∑ ( y i − y ˉ ) 2 1 - \frac{\sum(y_i - \hat{y}_i)^2}{\sum(y_i - \bar{y})^2} 1−∑(yi−yˉ)2∑(yi−y^i)2 | 比随便猜好多少 | 判断模型学到了多少 |
MAE：平均绝对误差
MAE（Mean Absolute Error）把每个样本的误差取绝对值后求平均：
MAE = 1 n ∑ i = 1 n ∣ y i − y ^ i ∣ \text{MAE} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \vert y_i - \hat{y}_i \vert MAE=n1i=1∑n∣yi−y^i∣
它最直观，单位和原始目标一致。如果房价用"万元"表示，MAE = 8.4 就可以直接读作：模型平均会偏离约 8.4 万元。对于需要和业务方沟通的项目，MAE 往往是很好的首要指标。
MAE 不会被离群值绑架，一个异常大误差只贡献一行，不会被平方放大。它的缺点是对梯度下降不友好，绝对值在 0 处不可导，所以很少直接当训练目标用。
MSE 与 RMSE：更在意大错误
MSE（Mean Squared Error）会先把误差平方：
MSE = 1 n ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 \text{MSE} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 MSE=n1i=1∑n(yi−y^i)2
误差从 2 变成 4，误差从 12 变成 144，大偏差被明显放大。这是训练回归模型最常用的损失函数。看两个样本就明白平方惩罚有多狠：
| 样本 | 真实值 | 预测值 | 误差 | MAE 贡献 | MSE 贡献 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 260 | 250 | 10 | 10 | 100 |
| 2 | 260 | 210 | 50 | 50 | 2500 |
两个样本的 MAE 贡献比是 1:5，但 MSE 贡献比是 1:25。用 MSE 训练时，模型会不遗余力地讨好超大误差的样本。
不过 MSE 的单位被平方了，读起来不直观。RMSE（Root Mean Squared Error）再对 MSE 开平方：
RMSE = MSE \text{RMSE} = \sqrt{\text{MSE}} RMSE=MSE
RMSE 回到原始单位，同时保留对大错更敏感的特点。向业务方汇报时用它很合适："这个模型预测房价，平均误差大概 ±18 万左右。"当一次严重低估或高估代价很高时，RMSE 比 MAE 更有提醒作用。
R²：模型比"猜平均值"好多少
R²（决定系数）不直接表示错了几元或几分钟，而是衡量模型相对"永远预测训练目标平均值"这个基线的提升程度：
R 2 = 1 − ∑ i = 1 n ( y i − y ^ i ) 2 ∑ i = 1 n ( y i − y ˉ ) 2 R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}i)^2}{\sum{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2} R2=1−∑i=1n(yi−yˉ)2∑i=1n(yi−y^i)2
分子是模型犯的错（残差平方和），分母是只用均值瞎猜会犯的错（总平方和）。
R² = 1：测试数据上预测完全准确；R² = 0：和只猜平均值差不多；R² < 0：甚至不如只猜平均值，该回去检查代码了。
比如 R² = 0.85 表示模型解释了约 85% 的目标变化。R² 很适合比较同一任务、同一测试集上的不同模型，但不能替代 MAE 或 RMSE。一个 R² 看起来不错的模型，仍可能存在业务无法接受的平均误差。
用 scikit-learn 一次计算四个指标
python
from sklearn.metrics import (
mean_absolute_error,
mean_squared_error,
r2_score,
)
y_true = [120, 145, 168, 180]
y_pred = [118, 150, 160, 191]
mae = mean_absolute_error(y_true, y_pred)
mse = mean_squared_error(y_true, y_pred)
rmse = mean_squared_error(y_true, y_pred) ** 0.5
r2 = r2_score(y_true, y_pred)
print(f"MAE: {mae:.2f}")
print(f"MSE: {mse:.2f}")
print(f"RMSE: {rmse:.2f}")
print(f"R²: {r2:.3f}")在真实项目里，y_true 和 y_pred 应来自测试集：
python
y_pred = model.predict(X_test)
mae = mean_absolute_error(y_test, y_pred)同一个测试集、同一种数据切分方式，是比较模型的基本前提。
到底选哪个指标
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训练模型 → MSE（好优化，梯度友好）
向业务方汇报 → RMSE（同单位，聚焦大误差）
分析业务成本 → MAE（避免离群值绑架结论）
判断模型学没学到 → R²（和均值基线相比）可以先用下面这张判断表：
| 你最想知道什么 | 优先关注 |
|---|---|
| 平均会差多少，且要容易解释 | MAE |
| 严重大错需要被额外惩罚 | RMSE 或 MSE |
| 模型相对均值基线有没有价值 | R² |
| 要完整了解模型行为 | MAE + RMSE + R² 一起看 |
例如预测快递到达时间时，MAE 能说明平均偏差几分钟；如果"晚到一小时"会造成严重损失，则还应重点看 RMSE 和最差样本。指标不是排行榜，而是把业务担心的事情翻译成一个可比较的数字。一个实用规则：至少同时看 RMSE 和 R²，前者评价"准不准"，后者评价"学没学"，两者缺一不可。
两个高频误区
用训练集分数证明模型好
训练集本来就是模型用于学习的数据。只有在验证集或测试集上计算的分数，才更接近模型面对新数据时的表现。
跨数据集比较误差绝对值
一个模型在"房价单位是万元"的数据上 MAE 为 5，另一个在"房价单位是元"的数据上 MAE 为 50000，不能直接比大小。目标单位、样本范围和测试集不同，指标没有可比性。
课后练习
把上面的 y_pred 最后一个值从 191 改为 220，重新运行。观察 MAE 和 RMSE 哪一个变化更明显，再解释为什么。
小结
- MAE 最容易解释平均偏差，抗离群值；
- MSE 会强烈放大大错误，是默认的训练损失函数；
- RMSE 回到原始单位，同时仍重视大错误，适合汇报；
- R² 用来判断模型相对均值基线的解释能力，可以是负数；
- 评估必须基于未参与训练的、可比较的数据。
下一课切换到分类任务：逻辑回归为什么名字里有"回归"，却能判断用户会不会流失？
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