力扣hot100-240.搜索二维矩阵2-单调性剪枝详解

LeetCode 240. 搜索二维矩阵 II：单调性剪枝详解

1. 算法思想

这题属于：

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矩阵搜索 / 单调性剪枝

也常被称为 Z 字形搜索。它不是普通二分查找：每一行、每一列分别有序，但整个矩阵按行展开后并不整体有序。

例如：

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[
  [1, 4, 7],
  [2, 5, 8],
  [3, 6, 9]
]

按行展开是 1, 4, 7, 2, 5, 8, 3, 6, 9，其中 7 后面是 2，因此不能把它当一维数组二分。

本题的关键是：从右上角开始，每次比较都能确定排除一整行或一整列。

2. 为什么从右上角开始

右上角 matrix[0][n - 1] 有两个相反的单调方向：

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左边都更小。
下面都更大。

因此当前位置 matrix[row][col] 与 target 比较后，移动方向是确定的：

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current > target：向左，排除当前列。
current < target：向下，排除当前行。
current == target：找到答案。

当前值过大，为什么排除当前列

如果：

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current > target

当前列从上到下递增。从当前行往下的元素都满足：

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matrix[i][col] >= current > target

整列都太大，不可能有答案，因此：

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col--;

当前值过小，为什么排除当前行

如果：

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current < target

当前行从左到右递增。当前剩余区域中，这一行从左边界到当前列的所有元素都满足：

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matrix[row][j] <= current < target

整行都太小，不可能有答案，因此：

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row++;

3. 用 target = 5 完整模拟

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matrix =
[
  [1,  4,  7, 11, 15],
  [2,  5,  8, 12, 19],
  [3,  6,  9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]

从右上角开始：

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row = 0, col = 4，当前值 15
15 > 5，向左。

row = 0, col = 3，当前值 11
11 > 5，向左。

row = 0, col = 2，当前值 7
7 > 5，向左。

row = 0, col = 1，当前值 4
4 < 5，向下。

row = 1, col = 1，当前值 5
找到目标。

路径是：

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15 -> 11 -> 7 -> 4
                   |
                   v
                   5

因此这类搜索也叫 Z 字形搜索。

4. 为什么不会漏掉答案

当前位置始终是当前剩余区域的右上角。

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当前值大于 target：当前列下面的值更大，整列排除安全。
当前值小于 target：当前行左边的值更小，整行排除安全。

每一步删除的都是确定不可能包含 target 的区域。搜索会在找到目标，或剩余区域为空时结束，因此不会漏掉答案。

5. Java 代码完整注释

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class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        // 空矩阵中不存在目标。
        if (matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
            return false;
        }

        int m = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;

        // 从右上角开始。
        int row = 0;
        int col = n - 1;

        // row 只向下移动，col 只向左移动。
        // 任一指针越界时，说明剩余区域为空。
        while (row < m && col >= 0) {
            int current = matrix[row][col];

            if (current == target) {
                return true;
            }

            if (current > target) {
                // 当前列从上到下递增，下面的元素只会更大。
                // 所以当前列不可能有 target，向左排除它。
                col--;
            } else {
                // 当前行从左到右递增，左边的元素只会更小。
                // 所以当前行不可能有 target，向下排除它。
                row++;
            }
        }

        return false;
    }
}

6. 左下角也可以

左下角同样有相反的单调方向：上面更小，右边更大。

因此从左下角开始也可以：

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当前值大于 target：向上。
当前值小于 target：向右。

它与右上角写法本质相同。学习时固定记住右上角版本即可：

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大了向左，小了向下。

7. 复杂度分析

每一步只会向左移动一列，或者向下移动一行。

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最多向左 n 次。
最多向下 m 次。

所以时间复杂度是：

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O(m + n)

额外空间复杂度是：

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O(1)

8. 总结

这题属于矩阵搜索 / 单调性剪枝。

从右上角开始：

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当前值 > target：当前列全都太大，向左。
当前值 < target：当前行全都太小，向下。

每一步排除一整行或一整列，因此效率是 O(m + n)。

一句话记忆：

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从右上角开始：大了向左，小了向下。