【动态规划-6】96.不同的二叉搜索树

题目描述：

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

解题思路：

方法一：动态规划

核心思路：

状态定义：

dp[i] = 由 i 个节点组成的二叉搜索树的数量。

状态转移：

对于 i 个节点，枚举根节点：

• 根节点左边有 j 个节点（构成左子树）

• 根节点右边有 i - 1 - j 个节点（构成右子树）

dp[i] = Σ dp[j] × dp[i-1-j]，j 从 0 到 i-1

具体过程示例：

n = 3

dp[0] = 1（空树）
dp[1] = 1（1个节点）
dp[2] = dp[0]*dp[1] + dp[1]*dp[0] = 1 + 1 = 2
dp[3] = dp[0]*dp[2] + dp[1]*dp[1] + dp[2]*dp[0] = 2 + 1 + 2 = 5 ✅

枚举根节点：

• 根=1：左0个，右2个 → dp[0] * dp[2] = 2

• 根=2：左1个，右1个 → dp[1] * dp[1] = 1

• 根=3：左2个，右0个 → dp[2] * dp[0] = 2

总计：2 + 1 + 2 = 5 ✅

代码实现：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;  // 空树
        dp[1] = 1;  // 1个节点
        
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] += dp[j] * dp[i - 1 - j];
            }
        }
        
        return dp[n];
    }
};

复杂度分析：

维度	复杂度	说明
时间复杂度	O(n²)	双重循环
空间复杂度	O(n)	dp 数组

方法二：卡特兰数

核心思路：

dp[n] 就是卡特兰数 C_n：

C_n = C(2n, n) / (n + 1)

代码实现：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long long result = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            result = result * (n + i) / i;
        }
        return result / (n + 1);
    }
};

更安全的写法：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int)C;
    }
};

复杂度分析：

维度	复杂度	说明
时间复杂度	O(n)	一次循环
空间复杂度	O(1)	只用常数个变量

两种方法对比：

方法	时间复杂度	空间复杂度	推荐度
动态规划	O(n²)	O(n)	⭐⭐⭐⭐⭐
卡特兰数	O(n)	O(1)	⭐⭐⭐⭐

动态规划更通用（能处理变种），卡特兰数更快但需要知道公式。

关键细节：

1. 为什么 dp[0] = 1？

空树也算一种情况。当根节点的左子树或右子树为空时，需要 dp[0] = 1 来保证乘法正确。

2. 为什么是 dp[j] * dp[i-1-j]？

• 左子树有 j 个节点，有 dp[j] 种结构

• 右子树有 i-1-j 个节点，有 dp[i-1-j] 种结构

• 左右子树独立，所以用乘法

3. 卡特兰数的其他应用

• 括号匹配数

• 出栈序列数

• 凸多边形三角划分

• 满二叉树计数

总结：

要点	说明
核心思想	枚举根节点，左右子树独立
状态转移	dp[i] = Σ dp[j] × dp[i-1-j]
时间复杂度	O(n²)
空间复杂度	O(n)