大数计算（大数加法/大数乘法）

ᰔᩚ. 一怀明月ꦿ2023-08-10 22:16

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目录

概念

大数加法

加法原理

编程分析

大数乘法

乘法原理

编程分析

(1)累加法

(2)直接乘积法

效率对比

结果

概念

计算机发明的初衷就是解决以人类计算能力无法有效解决的问题，这类问题包括反复多次的复杂运算也包括天文级数字的运算，但就c语言的初步学习可以发现，不论是int还是float乃至更大的unsigned long long int和double形式的数据都是有极限的。一般形式的数据里最大的整型是unsigned long long int，极限为18446744073709551615，是10^19次方的数量级，就日常生活的问题可能足够了，但以计算机的计算能力而言远远不够。

例如64位下的一个整形为例，一个整形四个字节，32bit位，存储的最大数据为4294967296，然而4294967295只有10位，如果字符数组存储只需两个字节，而且数组长度可以非常大。所以用字符数组存储数据，模拟计算数据去解决天文级数字的运算等难题。

大数加法

加法原理

进行计算之前，我们先明白加法的原理

例如 12+9=21

2+9+0（余数）=11

余数：1

取模：1

1+1（余数）=2

余数：0

取模：2

所以等于21

转化为编程思想：

例如 12+9=21

str：string的对象，next：表示进位

next=0;

str:""

2+9+next=11

next=1

str:"1"

1+0+next=2

next=0

str:"12"

最后逆置一下str，str:"21"

编程分析

cpp 复制代码 
string addStrings(string num1, string num2)//num1存储第一个数据，num2存储第二个数据
{
    int end1=num1.size()-1,end2=num2.size()-1;//这里我们获取每个数据的最后一位数的下标，因为我们进行计算，都是从最后一位数计算的
    int next=0;//表示的进位
    string str;//存储两个数据之和的对象
    while(end1>=0||end2>=0)//值得注意的是，我们对两个数据相加，是对每一个数据对应位相加，但如果一个数据min的位数少于另一位max数据，我们不能停止相加，只是max多余的位都加0而已，所以这里的循环结束的条件是，两个数据遍历完才停止。
    {
            //我们存储数据是用字符数组，计算数据还是以整形计算
            int x1=end1>=0?num1[end1]-'0':0;//x1就是获取一个数据end1下标的数据，之所以会减'0'，在num存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。end1>=0?num1[end1]-'0':0如果num1数据遍历完了，就会让x1的值为0
            int x2=end2>=0?num2[end2]-'0':0;//x2就是获取一个数据end2下标的数据，之所以会减'0'，在num存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。end2>=0?num2[end2]-'0':0如果num2数据遍历完了，就会让x2的值为0
            int ret=x1+x2+next;//计算两个数据对应位之和

            next=ret/10;//两个数据对应位之和大于等于10，就会产生进位
            ret=ret%10;//两个数据对应位之和小于10

            str+=ret+'0';//存储两个数据对应位之和小于10的部分
            end1--,end2---;//让两个数据的下标往前移动
    }
    reverse(str.begin(),str.end());//因为str存储的数据是相反的，所以需要逆置一下，reverse是string类里的逆置函数
    if(next==1)//就是两个数据相加时，最后一位也可能产生进位，例如：98+3，str里只保存了01，而最高位的1还没有保存就跳出循环了，所以在这里，可以将进位头插在str中
        str.insert(0,1,'1');//在str下标为0处插入1个'1'
    return str;
}

大数乘法

乘法原理

进行计算之前，我们先明白乘法的原理

例如 25*12=300

5*2+0（余数）=10

取余：1

取模：0

2*2+1（余数）=5

取余：0

取模：5

个位乘积：50

5*1+（余数）=5

取余：0

取模：5

2*1+（余数）=2

取余：0

取模：2

十位乘积：25

总积：25*10+50=300

转化为编程思想：

例如 25*12=300

strN:string的对象,str：string的对象，next：表示进位

next=0

str=""

strN="0"

5*2+next=10

next=1

str="0"

2*2+next=5

next=0

str="05"

strN=strN+"50"

next=0

str=""

5*1+next=5

next=0

str="5"

2*1+next=2

next=0

str="52"

strN=strN+"250"

strN="300"

编程分析

(1)累加法

其实，乘法可以转换为加法，例如25*12，我们可以将25累加12次，这样也能达到乘法的效果。

缺陷：效率低

cpp 复制代码 
string multiply_1(string num1, string num2)//num1存储第一个数据，num2存储第二个数据
{
    string strN=num1;//strN时记录乘积总和的对象，我们将num2的数据传递strN
    int n=0;//n是存储的是num2整形的数字，例如num2="123",n=123
    for(int i=0,j=pow(10,num2.size()-1);i<num2.size();i++,j/=10)//这个循环就是转换过程
    {
        n+=(num2[i]-'0')*j;
    }
    n-=1;//因为我们开始在strN中存储了num2的数据，所以我们在家的过程需要少累加一次
    while(n---)//通过循环开始累加
    {
        //我们存储数据是用字符数组，计算数据还是以整形计算
        string str;//str存储的是一次累加的数据
        int end1=num1.size()-1,end2=strN.size()-1;//这里我们获取每个数据的最后一位数的下标，因为我们进行计算，都是从最后一位数计算的
        int next=0;//进位
        while(end1>=0||end2>=0)
        {
                int x1=end1>=0?num1[end1]-'0':0;//x1就是获取一个数据end1下标的数据，之所以会减'0'，在num存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。end1>=0?num1[end1]-'0':0如果num1数据遍历完了，就会让x1的值为0
                int x2=strN[end2]-'0';//x2就是获取一个数据end2下标的数据，之所以会减'0'，在strN存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。
                int ret=x1+x2+next;//计算两个数据对应位之和

                next=ret/10;//两个数据对应位之和大于等于10，就会产生进位
                ret=ret%10;//两个数据对应位之和小于10

                str+=ret+'0';//存储两个数据对应位之和小于10的部分
                end1--,end2--;//让两个数据的下标往前移动
        }
        reverse(str.begin(),str.end());//因为str存储的数据是相反的，所以需要逆置一下，reverse是string类里的逆置函数
        if(next==1)//就是两个数据相加时，最后一位也可能产生进位，例如：98+3，str里只保存了01，而最高位的1还没有保存就跳出循环了，所以在这里，可以将进位头插在str中
            str.insert(0,1,'1');//在str下标为0处插入1个'1'
        strN=str;//将str的数据传递给strN
    }
    return strN;
}

(2)直接乘积法

直接通过，乘法的计算原理进行计算

cpp 复制代码 
string multiply(string num1, string num2)//num1存储第一个数据，num2存储第二个数据
{
    int end2=num2.size()-1;//这里我们获取每个数据的最后一位数的下标，因为我们进行计算，都是从最后一位数计算的
    string strN("0");//strN是记录乘积总和的对象，初始值为'0'
    int flag=-1;//是一个标志
   while(end2>=0&&(num1[0]!='0'&&num2[0]!='0'))//只要遍历完num2中的数据就结束运算，还有如果num1和num2中只要有一个为'0'就结束运算
   {
           int end1=num1.size()-1;//这里我们获取每个数据的最后一位数的下标，因为我们进行计算，都是从最后一位数计算的
           string str;//记录每次num1中的数据和num2中每一位值的乘积
           int next=0;//进位
           int x2=num2[end2]-'0';//x2就是获取一个数据end2下标的数据，之所以会减'0'，在strN存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。
           while(end1>=0)//遍历num1中的数据
           {
               int x1=num1[end1]-'0';//x1就是获取一个数据end1下标的数据，之所以会减'0'，在num存储的数据是字符，只要减'0'才是对应的整数。
               int ret=x1*x2+next;//计算num1每一位和num1每一位的乘积
               
               next=ret/10;//num1每一位和num1每一位的乘积大于10，就会产生进位
               ret=ret%10;//num1每一位和num1每一位的乘积小于10的值
               str+=ret+'0';//存储num1每一位和num1每一位的乘积小于10的值
               end1---;//让num1数据的下标往前移动
           }
       flag++;//标志+1
       end2--;//让num2数据的下标往前移动
       reverse(str.begin(),str.end());//因为str存储的数据是相反的，所以需要逆置一下，reverse是string类里的逆置函数
       int count=flag;//传递标志的值
       while(count---)//num2每一位值和num1数据乘积等级是不同的，num1第一位是个位，第二位是位，第三位是千位...，所以str存储数据是应该加上对应数目的'0'
       {
           str+='0';
       }
       
       char ch=next+'0';
       if(next!=0)//就是num2每一位值和num1数据乘积时，最后一位也可能产生进位，例如：98*3，str里只保存了94，而最高位的2还没有保存就跳出循环了，所以在这里，可以将进位头插在str中
           str.insert(0,1,ch);
       
       strN=addStrings(strN, str);//将num2每一位值和num1数据乘积累加给strN，addStrings是我们前面提到的大数加法
   }
   return strN;
}

效率对比

同时计算999999*999999，看所需要的时间

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
string multiply_1(string num1, string num2)
{
    string strN=num1;
    int n=0;
    for(int i=0,j=pow(10,num2.size()-1);i<num2.size();i++,j/=10)
    {
        n+=(num2[i]-'0')*j;
    }
    n-=1;
    while(n--)
    {
        string str;
        int end1=num1.size()-1,end2=strN.size()-1;
        int next=0;
        while(end1>=0||end2>=0)
        {
                int x1=end1>=0?num1[end1]-'0':0;
                int x2=strN[end2]-'0';
                int ret=x1+x2+next;

                next=ret/10;
                ret=ret%10;

                str+=ret+'0';
                end1--,end2--;
        }
        reverse(str.begin(),str.end());
        if(next==1)
            str.insert(0,1,'1');
        strN=str;
    }
    return strN;
}
//25
// 3
//next=0
//5*3+next=15
//next=1
//str:5
//2*3+next=7
//str:57
//75
string addStrings(string num1, string num2)
{
    int end1=num1.size()-1,end2=num2.size()-1;
    int next=0;
    string str;
    while(end1>=0||end2>=0)
    {
            int x1=end1>=0?num1[end1]-'0':0;
            int x2=end2>=0?num2[end2]-'0':0;
            int ret=x1+x2+next;

            next=ret/10;
            ret=ret%10;

            str+=ret+'0';
            end1--,end2--;
    }
    reverse(str.begin(),str.end());
    if(next==1)
        str.insert(0,1,'1');
    return str;
}
string multiply(string num1, string num2)
{
    int end2=num2.size()-1;
    string strN("0");
    int flag=-1;
   while(end2>=0&&(num1[0]!='0'&&num2[0]!='0'))
   {
           int end1=num1.size()-1;
           string str;
           int next=0;
           int x2=num2[end2]-'0';
           while(end1>=0)
           {
               int x1=num1[end1]-'0';
               int ret=x1*x2+next;
               
               next=ret/10;
               ret=ret%10;
               str+=ret+'0';
               end1--;
           }
       flag++;
       end2--;
       reverse(str.begin(),str.end());
       int count=flag;
       while(count--)
       {
           str+='0';
       }
       
       char ch=next+'0';
       if(next!=0)
           str.insert(0,1,ch);
       
       strN=addStrings(strN, str);
   }
   return strN;
}
int main()
{
    string s1,s2;
    cin>>s1>>s2;

    size_t begin_1=clock();
    cout<<"累加法的值："<<multiply_1(s1, s2)<<endl;
    size_t end_1=clock();
    cout<<"累加法的时间："<<end_1-begin_1<<"10^-3ms"<<endl;


    size_t begin_2=clock();
    cout<<"直接乘积法的值："<<multiply(s1, s2)<<endl;
    size_t end_2=clock();
    cout<<"直接乘积法的时间："<<end_2-begin_2<<"10^-3ms"<<endl;
    return 0;
}

结果

结果：

999999 999999

累加法的值：999998000001

累加法的时间：51161310^-3ms

直接乘积法的值：999998000001

直接乘积法的时间：1210^-3ms
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