【考研数学】高等数学第三模块——积分学 | Part II 定积分(反常积分及定积分应用)

文章目录


前言

承接前文,梳理完定积分的定义及性质后,我们进入广义积分的学习。

通过可积的概念我们可以清楚,连续函数是可积的,同时,有有限个第一类间断点的函数也是可积的。这类积分积分区间是有限的,称为正常积分。而如果出现 积分区间无限(如上限为无穷等)或被积函数在积分区间内有无穷间断点,称这类积分为广义积分或反常积分。

三、广义积分

3.1 敛散性概念

(一)积分区间为无限的广义积分

实际进行判断时,我们一般直接写成原函数相减的形式。如: ∫ 1 ∞ x 1 + x 4 d x = 1 2 a r c t a n x ∣ 1 ∞ = 1 2 ( π 2 − π 4 ) = π 8 \int_1^{\infty}\frac{x}{1+x^4}dx=\frac{1}{2}arctanx \big| _1^{\infty}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{8} ∫1∞1+x4xdx=21arctanx 1∞=21(2π−4π)=8π

这里补充一个 Γ \Gamma Γ 函数,其定义为: Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − x d x ( α > 0 ) \Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty}x^{\alpha -1}e^{-x}dx (\alpha>0) Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx(α>0) 主要有如下性质: Γ ( α + 1 ) = α Γ ( α ) , Γ ( n + 1 ) = n ! , Γ ( 1 2 ) = π . \Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha),\Gamma(n+1)=n!, \Gamma(\frac{1}{2})= \sqrt{\pi}. Γ(α+1)=αΓ(α),Γ(n+1)=n!,Γ(21)=π .

定义 2 是当下限为无穷时的广义积分,和第一种情况类似。

当上下限均为无穷时,需要将区间分为两部分,分别进行收敛性判断,且最后的积分为两部分积分之和。

(二)积分区间有限但存在无穷间断点

定义 4 ------ 设 f ( x ) ∈ C ( a , b ] f(x) \in C(a,b] f(x)∈C(a,b] 且 f ( a + 0 ) = ∞ f(a+0)=\infty f(a+0)=∞ ,对 ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon>0 ∀ϵ>0 ,记 ∫ a + ϵ b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a + ϵ ) ; \int_{a+\epsilon}^bf(x)dx=F(b)-F(a+\epsilon); ∫a+ϵbf(x)dx=F(b)−F(a+ϵ); 若上述极限存在,则广义积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx 收敛,且等于该极限值。

若上述极限不存在,则广义积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^bf(x)dx ∫abf(x)dx 发散。

同样,当在 b 处无穷间断或区间中其他点无穷间断时,分别有如下定义。


3.2 敛散性判别法

针对各种类型的广义积分,分别有不同的判别法,但彼此之间的形式较为相似。

除此以外,广义积分还有判别定理,有点儿级数收敛的意思了。

四、定积分应用

定积分在几何上的应用有求面积,包括旋转曲面的面积和一些曲线所围的面积等。还有求体积,如绕某条坐标轴旋转一周的体积。求曲线长度,如各种坐标系下曲线的长度。

定积分在物理上的应用主要为求做功和受力。

在具体求解时,关键是掌握好微元法的思想,先找到一个小微元 [ x , x + d x ] [x,x+dx] [x,x+dx] 。求面积则把面积的表达式写出来,如 d A = x d x dA=xdx dA=xdx 。求体积则把体积表示出来,如 d V = π x 2 d x dV=\pi x^2dx dV=πx2dx 。求压力,则把压力表示出来,如 d F = e g h ⋅ d S dF=egh\cdot dS dF=egh⋅dS 。

写出来后根据积分区间进行定积分求解即可,如 V = ∫ d V = ∫ π x 2 d x V=\int dV=\int \pi x^2dx V=∫dV=∫πx2dx 。

写在最后

定积分的内容多啊,任重道远,后面还有重积分、曲线、曲面积分等等。不过只要坚持把这块啃下来,后面的进度就会好一些。

相关推荐
张张张31214 分钟前
4.1学习总结 拼图小游戏+集合进阶
java·学习
RadNIkMan41 分钟前
Python学习(二)操作列表
网络·python·学习
笑鸿的学习笔记42 分钟前
ROS2笔记之服务通信和基于参数的服务通信区别
android·笔记·microsoft
yanxy5121 小时前
【TS学习】(15)分布式条件特性
前端·学习·typescript
lalapanda1 小时前
UE5学习记录 part13
学习·ue5
高林雨露2 小时前
Java对比学习Kotlin的详细指南(一)
java·学习·kotlin
安建资小栗子2 小时前
2025年汽车加气站操作工备考题库
笔记
齐尹秦3 小时前
HTML5 Web Workers 学习笔记
笔记·学习
DarkBule_3 小时前
零基础驯服GitHub Pages
css·学习·html·github·html5·web
余多多_zZ3 小时前
鸿蒙学习手册(HarmonyOSNext_API16)_应用开发UI设计:Swiper
学习·ui·华为·harmonyos·鸿蒙系统