数据结构--拓扑排序
AOV⽹
A O V ⽹ \color{red}AOV⽹ AOV⽹(Activity On Vertex NetWork，⽤顶点表示活动的⽹)：
⽤ D A G 图 \color{red}DAG图 DAG图（有向⽆环图）表示⼀个⼯程。顶点表示活动，有向边 < V i , V j > <V_i, V_j> <Vi,Vj>表示活动Vi必须先于活动 V j V_j Vj进⾏
注：如果图中存在环路就不是 A O V 网 \color{red}注：如果图中存在环路就不是AOV网 注：如果图中存在环路就不是AOV网
DAG图是指有向无环图（Directed Acyclic Graph），是一种有向图的特殊形式。它由一些有向边连接的节点组成，并且不存在任何形式的环。换句话说，从任何一个节点出发，沿着有向边的方向无法经过一系列的节点再回到原始节点。DAG图常用于表示一些具有依赖关系的任务或事件，其中每个节点表示一个任务或事件，有向边表示任务或事件之间的依赖关系。DAG图在计算机科学和工程中有广泛的应用，例如任务调度、编译器优化、数据流分析等领域。
拓扑排序
拓扑排序 \color{red}拓扑排序 拓扑排序：在图论中，由⼀个 有向⽆环图 \color{red}有向⽆环图 有向⽆环图的顶点组成的序列，当且仅当满⾜下列条件时，称为该图的⼀个拓扑排序：
① 每个顶点出现且只出现⼀次。
② 若顶点A在序列中排在顶点B的前⾯，则在图中不存在从顶点B到顶点A的路径。或定义为：拓扑排序是对有向⽆环图的顶点的⼀种排序，它使得若存在⼀条从顶点A到顶点B的路径，则在排序中顶点B出现在顶点A的后⾯。每个AOV⽹都有⼀个或多个拓扑排序序列。
上图其中一个拓扑排序：
拓扑排序的实现：
① 从AOV⽹中选择⼀个没有前驱的顶点并输出。
② 从⽹中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
③ 重复①和②直到当前的AOV⽹为空或当前⽹中不存在⽆前驱的顶点为⽌。
注：拓扑排序序列可能有多个 \color{red}注：拓扑排序序列可能有多个 注：拓扑排序序列可能有多个
拓扑排序代码实现
王道书上代码
个人code
cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int q[N], d[N];
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
bool topsort()
{
int tt = -1, hh = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
if(!d[i])
q[++tt] = i;
while(hh <= tt)
{
int t = q[hh++];
for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
d[j]--;
if(!d[j]) q[++tt] = j;
}
}
return tt == n - 1;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
memset(h, -1, sizeof(h));
for(int i = 0; i < n; i++)
{
int a, b;
cin >> a >> b;
add(a, b);
d[b]++;
}
if(topsort())
{
for(int i = 0; i < n; i++)
cout << q[i] << ' ';
cout << endl;
}
else cout << "-1" << endl;
return 0;
}判断是否存在拓扑序
cpp
时间复杂度 O(n + m), n 表示点数，m表示边数
bool topsort()
{
int hh = 0, tt = -1;
// d[i] 存储点i的⼊度
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (!d[i])
q[ ++ tt] = i;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (-- d[j] == 0)
q[ ++ tt] = j;
}
}
// 如果所有点都⼊队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
return tt == n - 1;
}逆拓扑排序
对⼀个AOV⽹，如果采⽤下列步骤进⾏排序，则称之为 逆拓扑排序 \color{red}逆拓扑排序 逆拓扑排序：
① 从AOV⽹中选择⼀个没有后继（ 出度为 0 \color{red}出度为0 出度为0）的顶点并输出。
② 从⽹中删除该顶点和所有以它为终点的有向边。
③ 重复①和②直到当前的AOV⽹为空。
其中一个逆拓扑排序
逆拓扑排序代码实现
逆拓扑排序的实现（DFS算法）
DFS判断是否有环：
cpp
int vis[N], cnt; // timestamp
int per[N];
bool cyc[N];// 标记
void dfs(int u) //找环 & 标记环
{
vis[u] = ++cnt;
for (auto v : g[u])
{
if (per[u] == v)
continue;
if (!vis[v])
{
per[v] = u;
dfs(v);
}
else if (vis[u] > vis[v])
{
for (int i = u; i != v; i = per[i])
cyc[i] = true;
cyc[v] = true;
}
}
}如果单纯判断是否有环，只需要引进父结点（fa）
dfs(u,fa)
如果 u == fa 则存在环
知识点回顾与重要考点
