文章目录
- 引言
- 四、线性方程组的通解
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- [4.1 齐次线性方程组](#4.1 齐次线性方程组)
- [4.2 非齐次线性方程组](#4.2 非齐次线性方程组)
- 五、方程组解的理论延伸
引言
承接前文，继续学习线性方程组的内容，从方程组的通解开始。
四、线性方程组的通解
4.1 齐次线性方程组
（1）基础解系 ------ 设 r ( A ) = r < n r(A)=r<n r(A)=r<n ，则 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 所有解构成的解向量组的极大线性无关组称为方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的一个基础解系。基础解系中所含有的线性无关的解向量的个数为 ( n − r ) (n-r) (n−r) 个。
因为是 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n 呢？因为如果 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n 的话，那齐次方程就只有零解了，也没什么好讨论的。
求齐次线性方程组的基础解系时，把其系数矩阵通过初等行变换进行阶梯化（系数矩阵进行初等行变换相当于方程组的同解变形），每行第一个非零元素所在的列对应的未知数是约束变量，其余变量是自由变量，从而可以确定基础解系（最好把每行第一个非零元素化为 1 ，且其所在的列其余元素都化为零）。
举个例子，假设方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的系数矩阵 A \pmb{A} A 经过初等行变换可以化为如下形式：
则 r ( A ) = 3 < 5 r(A)=3<5 r(A)=3<5 ，方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的基础解系中含有 n − r = 5 − 3 = 2 n-r=5-3=2 n−r=5−3=2 个解向量，其中 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1,x2,x3 为约束变量， x 4 , x 5 x_4,x_5 x4,x5 为自由变量， ( x 4 , x 5 ) (x_4,x_5) (x4,x5) 分别取 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0) 和 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) ，则基础解系为： ξ 1 = ( − 2 , 1 , − 3 , 1 , 0 ) T , ξ 2 = ( 3 , − 4 , 2 , 0 , 1 ) T . \xi_1=(-2,1,-3,1,0)^T,\xi_2=(3,-4,2,0,1)^T. ξ1=(−2,1,−3,1,0)T,ξ2=(3,−4,2,0,1)T. （2）通解 ------ 设 ξ 1 , ξ 2 , ... , ξ n − r \xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r} ξ1,ξ2,...,ξn−r 为齐次线性方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的一个基础解系，称 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r k_1\xi_1+k_2\xi_2+\dots+k_{n-r}\xi_{n-r} k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r 为齐次线性方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的通解，其中 k 1 , k 2 , ... , k n − r k_1,k_2,\dots,k_{n-r} k1,k2,...,kn−r 为任意常数。
4.2 非齐次线性方程组
设 r ( A ) = r ( A ‾ ) < n r(A)=r(\overline{A})<n r(A)=r(A)<n ，且 ξ 1 , ξ 2 , ... , ξ n − r \xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r} ξ1,ξ2,...,ξn−r 为 A X = b \pmb{AX=b} AX=b 的导出方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的一个基础解系， η 0 \pmb{\eta_0} η0 为 A X = b \pmb{AX=b} AX=b 的一个解，则 A X = b \pmb{AX=b} AX=b 的通解为 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n − r ξ n − r + η 0 , k_1\xi_1+k_2\xi_2+\dots+k_{n-r}\xi_{n-r}+\eta_0, k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r+η0, 其中 k 1 , k 2 , ... , k n − r k_1,k_2,\dots,k_{n-r} k1,k2,...,kn−r 为任意常数。
1，齐次线性方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的基础解系不唯一，但线性无关的解向量的个数是唯一的。
2， r ( A ) = r ( A ‾ ) < n r(A)=r(\overline{A})<n r(A)=r(A)<n 时，非齐次线性方程组 A X = b \pmb{AX=b} AX=b 所有解向量的极大线性无关的向量个数为 ( n − r + 1 ) (n-r+1) (n−r+1) 个。
3，设 η 1 , η 2 , ... , η n − r + 1 \eta_1,\eta_2,\dots,\eta_{n-r+1} η1,η2,...,ηn−r+1 为非齐次线性方程组 A X = b \pmb{AX=b} AX=b 的一个极大线性无关组，则其通解也可以像齐次方程那样表示为 k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k n − r + 1 η n − r + 1 k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_{n-r+1}\eta_{n-r+1} k1η1+k2η2+⋯+kn−r+1ηn−r+1 ，其中 k 1 , k 2 , ... , k n − r + 1 k_1,k_2,\dots,k_{n-r+1} k1,k2,...,kn−r+1 为任意常数，且 k 1 + k 2 + ⋯ + k n − r + 1 = 1. k_1+k_2+\dots+k_{n-r+1}=1. k1+k2+⋯+kn−r+1=1.
五、方程组解的理论延伸
定理 1 ------ 设 A A A 是 m × n m\times n m×n 矩阵， B B B 是 n × s n\times s n×s 矩阵，若 A B = O AB=O AB=O ，则 B B B 的列向量组是方程组 A X = 0 AX=0 AX=0 的解。
证明： 令 B = ( β 1 , β 2 , ... , β s ) B=(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s) B=(β1,β2,...,βs)，则 A B = ( A β 1 , A β 2 , ... , A β s ) AB=(A\beta_1,A\beta_2,\dots,A\beta_s) AB=(Aβ1,Aβ2,...,Aβs)，若 A B = O AB=O AB=O ，则 A β 1 = 0 , A β 2 = 0 ... , A β s = 0 A\beta_1=0,A\beta_2=0\dots,A\beta_s=0 Aβ1=0,Aβ2=0...,Aβs=0 ，原命题得证。
定理 2 ------ 设方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 与 B X = 0 \pmb{BX=0} BX=0 为同解方程组，则 r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B) ，反之不对。
定理 3 ------ 设方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的解为 B X = 0 \pmb{BX=0} BX=0 的解，则 r ( A ) ≥ r ( B ) . r(A) \geq r(B). r(A)≥r(B).
1，设方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的解为 B X = 0 \pmb{BX=0} BX=0 的解，但不全是，则 r ( A ) > r ( B ) . r(A) > r(B). r(A)>r(B).
2，设方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的解为 B X = 0 \pmb{BX=0} BX=0 的解，且 r ( A ) = r ( B ) r(A) = r(B) r(A)=r(B) ，则两个方程组同解。
定理 4 ------ 设 A X = b , B X = c \pmb{AX=b},\pmb{BX=c} AX=b,BX=c ，则线性方程组 ( A , B ) T X = ( b , c ) T (A,B)^TX=(b,c)^T (A,B)TX=(b,c)T 的解即为两个方程的公共解。