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行列式
二阶行列式
行列式引自对线性方程组的求解。考虑两个方程的二元线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases} {a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2
可使用消元法，得
( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) x 1 = b 1 a 22 − a 12 b 2 ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) x 2 = a 11 b 2 − b 1 a 21 (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_1=b_1a_{22}-a_{12}b_2 \\ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_2=a_{11}b_2-b_1a_{21} (a11a22−a12a21)x1=b1a22−a12b2(a11a22−a12a21)x2=a11b2−b1a21
当 a 11 a 22 − a 12 a 21 ≠ 0 a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0 a11a22−a12a21=0 时，得
x 1 = b 1 a 22 − a 12 b 2 a 11 a 22 − a 12 a 21 , x 2 = a 11 b 2 − b 1 a 21 a 11 a 22 − a 12 a 21 x_1=\frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},\quad x_2=\frac{a_{11}b_2-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} x1=a11a22−a12a21b1a22−a12b2,x2=a11a22−a12a21a11b2−b1a21
从方程组解来看，分母 a 11 a 22 − a 12 a 21 a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} a11a22−a12a21 是系数矩阵 A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} A=[a11a21a12a22] 的元素计算得到，称这个值为矩阵 A A A 的二阶行列式 (determinant)，记为 det A \det A detA 或 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ ，或记为数表形式
∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} a11a21a12a22 =a11a22−a12a21
利用二阶行列式的概念，分子也可写为二阶行列式
det A 1 = ∣ b 1 a 12 b 2 a 22 ∣ = b 1 a 22 − a 12 b 2 det A 2 = ∣ a 11 b 1 a 21 b 2 ∣ = a 11 b 2 − b 1 a 21 \det A_1=\begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22}\end{vmatrix}=b_1a_{22}-a_{12}b_2 \\ \det A_2=\begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2\end{vmatrix}=a_{11}b_2-b_1a_{21} detA1= b1b2a12a22 =b1a22−a12b2detA2= a11a21b1b2 =a11b2−b1a21
从上面对比可以看出， x j x_j xj 的矩阵 A j A_j Aj 是系数矩阵 A A A的第 j j j 列用常数项代替后的矩阵。这样，方程组的解可表示为
x 1 = det A 1 det A , x 2 = det A 2 det A x_1=\frac{\det A_1}{\det A},\quad x_2=\frac{\det A_2}{\det A} x1=detAdetA1,x2=detAdetA2
n n n 阶行列式
考虑三个方程的三元线性方程组，系数矩阵为
A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{bmatrix} A= a11a21a31a12a22a32a13a23a33
用消元法可知未知数的分母同样是系数矩阵 A A A 的元素运算得到，于是定义三阶行列式为
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} a11a21a31a12a22a32a13a23a33 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
由二阶行列式的定义，上式可变为
∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ − a 12 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ + a 13 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}= a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}- a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{vmatrix}+ a_{13}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33 =a11 a22a32a23a33 −a12 a21a31a23a33 +a13 a11a21a12a22
进一步探索 n n n 元线性方程组，可知高阶行列式定义。为书写方便，把元素 a i j a_{ij} aij 所在的行和列划掉后，剩下的元素组成的行列式称为 a i j a_{ij} aij 的余子式 (cofactor)，记作 M i j M_{ij} Mij ，并称
A i j = ( − 1 ) i + j M i j A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} Aij=(−1)i+jMij
为 a i j a_{ij} aij 的代数余子式(algebraic cofactor)。
定义：方阵 A A A 的行列式用第一行元素的代数余子式定义为
det A = ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ = ∑ j = 1 n a 1 j A 1 j \det A=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{vmatrix}=\sum_{j=1}^na_{1j}A_{1j} detA= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann =j=1∑na1jA1j
由定义易知，行列式可以按任意行(列)展开。
det A = ∑ j = 1 n a i j A i j , by row i det A = ∑ i = 1 n a i j A i j , by col j \det A=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}, \quad \text{by row }i \\ \det A=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}, \quad \text{by col }j detA=j=1∑naijAij,by row idetA=i=1∑naijAij,by col j
行列式的性质
性质：使用数学归纳法可知
- 行列式与其转置行列式相等： det A T = det A \det A^T=\det A detAT=detA
- 互换行列式两行(列)，行列式改变符号。
∣ a b c d ∣ = − ∣ c d a b ∣ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}c&d\\a&b\end{vmatrix} acbd =− cadb - 行列式的某一行(列)所有元素同乘以数 k k k，等于数 k k k乘以该行列式。
∣ k a b k c d ∣ = k ∣ a b c d ∣ \begin{vmatrix}ka&b\\kc&d\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} kakcbd =k acbd - 若行列式的某一行(列)的为两组数之和，则可表示为两行列式之和。
∣ a 1 + a 2 b c 1 + c 2 d ∣ = ∣ a 1 b c 1 d ∣ + ∣ a 2 b c 2 d ∣ \begin{vmatrix}a_1+a_2&b\\c_1+c_2&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_1&b\\c_1&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_2&b\\c_2&d\end{vmatrix} a1+a2c1+c2bd = a1c1bd + a2c2bd - 把行列式的某一行(列)所有元素同乘以数 k k k 都加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变。
∣ a b c d ∣ = ∣ a + k b b c + k d d ∣ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a+kb&b\\c+kd&d\end{vmatrix} acbd = a+kbc+kdbd - 矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积： det ( A B ) = ( det A ) ( det B ) = det ( B A ) \det(AB)=(\det A)(\det B)=\det(BA) det(AB)=(detA)(detB)=det(BA)
推论：
- 行列式中若有两行(列)元素相同，该行列式的值为零。
- 行列式中某一行(列)的公因子可以提取到行列式符号外面。
- 行列式中若有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
- det ( k A ) = k n det A \det(kA)=k^n\det A det(kA)=kndetA
由上面的性质，我们很容易得到：
- 出现零行和零列的行列式为零。
- 对角阵 A = diag ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) A=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) A=diag(λ1,λ2,⋯,λn) 的行列式 det A = λ 1 λ 2 ⋯ λ n \det A=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n detA=λ1λ2⋯λn 。
- 如果 A A A 是三角阵，行列式为主对角线元素的乘积。
对于高阶行列式，一般利用行列式的性质，初等变换化为三角行列式求解。
示例：可用数学归纳法证明范德蒙行列式 (Vandermonde determinant)：
∣ 1 1 ⋯ 1 a 1 a 2 ⋯ a n a 1 2 a 2 2 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n − 1 a 2 n − 1 ⋯ a n n − 1 ∣ = ∏ 1 ⩽ i < j ⩽ n ( a j − a i ) \begin{vmatrix} 1 & 1& \cdots &1 \\ a_1 &a_2&\cdots &a_n \\ a_1^2 &a_2^2&\cdots &a_n^2 \\ \vdots &\vdots&\vdots &\vdots \\ a_1^{n-1} &a_2^{n-1}&\cdots &a_n^{n-1} \end{vmatrix}=\prod_{1⩽ i<j⩽n}(a_j-a_i) 1a1a12⋮a1n−11a2a22⋮a2n−1⋯⋯⋯⋮⋯1anan2⋮ann−1 =1⩽i<j⩽n∏(aj−ai)
行列式函数 ：若 A A A 为 n n n阶矩 阵，可以将 det A \det A detA 看作 A A A 中 n n n 个列向量的函数。若 A A A 中除了一列之外都是固定的向量，则 det A \det A detA 是线性函数。
假设第 j j j 列是变量，定义映射 x ↦ T ( x ) \mathbf x\mapsto T(\mathbf x) x↦T(x) 为
T ( x ) = det A = det [ a 1 ⋯ x ⋯ a n ] T(\mathbf x)=\det A=\det\begin{bmatrix}\mathbf a_1\cdots\mathbf x\cdots\mathbf a_n\end{bmatrix} T(x)=detA=det[a1⋯x⋯an]
则有
T ( c x ) = c T ( x ) T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) T(c\mathbf x)=cT(\mathbf x) \\ T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v) T(cx)=cT(x)T(u+v)=T(u)+T(v)
克拉默法则
这里只讨论方程个数和未知数相等的 n n n元线性方程组
A x = b A\mathbf x=\mathbf b Ax=b
若 det A ≠ 0 \det A\neq0 detA=0，那么它有唯一解
x j = det A j ( b ) det A , ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) x_j=\frac{\det A_j(\mathbf b)}{\det A},\quad(j=1,2,\cdots,n) xj=detAdetAj(b),(j=1,2,⋯,n)
约定 A j ( b ) A_j(\mathbf b) Aj(b) 表示用向量 b \mathbf b b 替换矩阵 A A A的第 j j j列。
证：用 a 1 , a 2 , ⋯ , a n \mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n a1,a2,⋯,an 表示矩阵 A A A 的各列， e 1 , e 2 , ⋯ , e n \mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_n e1,e2,⋯,en 表示单位阵 I n I_n In 的各列。由分块矩阵乘法
A I j ( x ) = A [ e 1 ⋯ x ⋯ e n ] = [ A e 1 ⋯ A x ⋯ A e n ] = [ a 1 ⋯ b ⋯ a n ] = A j ( b ) \begin{aligned} AI_j(\mathbf x)&=A\begin{bmatrix}\mathbf e_1&\cdots&\mathbf x&\cdots&\mathbf e_n\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}A\mathbf e_1&\cdots& A\mathbf x&\cdots& A\mathbf e_n\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}\mathbf a_1&\cdots&\mathbf b&\cdots&\mathbf a_n\end{bmatrix} \\ &=A_j(\mathbf b) \end{aligned} AIj(x)=A[e1⋯x⋯en]=[Ae1⋯Ax⋯Aen]=[a1⋯b⋯an]=Aj(b)
由行列式的乘法性质
det A det I j ( x ) = det A j ( b ) \det A\det I_j(\mathbf x)=\det A_j(\mathbf b) detAdetIj(x)=detAj(b)
左边第二个行列式可沿第 j j j 列余子式展开求得 det I j ( x ) = x j \det I_j(\mathbf x)=x_j detIj(x)=xj。从而
x j det A = det A j ( b ) x_j\det A=\det A_j(\mathbf b) xjdetA=detAj(b)
若 det A ≠ 0 \det A\neq0 detA=0，则上式得证。
行列式的几何理解
Grant：行列式告诉你一个线性变换对区域的缩放比例。
我们已经知道，线性变换保持网格线平行且等距。为了方便，我们只考虑在平面直角坐标系内，单位基向量 i , j \mathbf i,\mathbf j i,j 所围成的单位正方形区域的线性变换。
根据向量加法的平行四边形法则和线性变换基本性质知，变换后的区域为矩阵 A = [ a b c d ] A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} A=[acbd] 的列向量 [ a c ] \begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix} [ac] 和 [ b d ] \begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix} [bd] 为邻边的平行四边形区域。
结论：二阶行列式的值表示由 A A A 的列确定的有向平行四边形的面积。
(1) 若 A A A 为对角阵，显然行列式 det [ a b 0 d ] \det\begin{bmatrix}a & b\\0 & d\end{bmatrix} det[a0bd] 表示底为 a a a，高为 d d d 的平行四边形面积
(2) 更一般的情况 A = [ a b c d ] A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} A=[acbd] ，可以看出，行列式的值与面积有着紧密的联系。
(3) 矩阵 [ a 2 a a 1 ] \begin{bmatrix}a^2 & a\\a & 1\end{bmatrix} [a2aa1] 表示将单位正方形压缩成线段，面积自然为0，行列式的值为0
单位正方形区域缩放的比例，其实可以代表任意给定区域缩放的比例。这是因为，线性变换保持网格线平行且等距。对于空间中任意区域的面积，借助微积分的思想，我们可以采用足够的小方格来逼近区域的面积，对所有小方格等比例缩放，则整个区域也以同样的比例缩放。
volume T ( Ω ) = ( det T ) ( volume Ω ) \text{volume }T(\Omega) = (\det T)(\text{volume }\Omega) volume T(Ω)=(detT)(volume Ω)
通过行列式的几何意义，我们就建立了线性变换、矩阵、行列式之间的关系。不难得出
- 复合线性变换缩放的比例相当于每次变换缩放比例的乘积，即
det A B = det A det B \det AB=\det A\det B detAB=detAdetB - 行列式的值为零，表示将空间压缩到更低的维度，矩阵的列向量线性相关