leetCode 300.最长递增子序列动态规划 + 图解

给你一个整数数组 nums，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组 中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 **[0,3,1,6,2,2,7]**的子序列。

示例 1：

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输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

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输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

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输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

>>思路和分析

明确什么是子序列，"子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序"

子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标 i 的递增子序列长度，其实和 i 之前的下标 j 的子序列长度有关系

>>动规五部曲

1.dp $i$ 的定义

dp $i$ 表示 i 之前包括 i 的以 nums $i$ 结尾的最长递增子序列的长度

2.状态转移方程

if(nums $i$ > nums $j$ ) dp $i$ = max(dp $i$ ,dp $j$ + 1);

注意：不是要 dp $i$ 与 dp $j$ + 1进行比较，而是要取 dp $j$ + 1的最大值

3.dp $i$ 的初始化

每一个i,对应的dp $i$ （即最长递增子序列）起始大小至少都是1

4.确定遍历顺序

dp $i$ 是由 0 到 i-1 各个位置的最长递增子序列推导出来，那么遍历 i 一定是从前向后遍历
j 其实就是遍历 0 到 i-1，那么是从前向后，还是从后到前都可以，只要是 0 到 i-1 的元素都遍历了就可以，所以习惯从前向后遍历

遍历 i 的循环在外层，遍历 j 则在内层，代码如下：

cpp 复制代码

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
    if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}

5.举例推导dp数组

输入： $0,1,0,3,2$ ，dp数组的变化如下：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() <= 1) return nums.size();
        vector<int> dp(nums.size(), 1);
        int result = 0;
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
        }
        return result;
    }
};

时间复杂度: O(n^2)
空间复杂度: O(n)

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