给你一个整数数组 nums
,找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列,删除(或不删除)数组 中的元素而不改变其余元素的顺序。例如,[3,6,2,7]
是数组 **[0,3,1,6,2,2,7]
**的子序列。
示例 1:
输入:nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出:4
解释:最长递增子序列是 [2,3,7,101],因此长度为 4 。
示例 2:
输入:nums = [0,1,0,3,2,3]
输出:4
示例 3:
输入:nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出:1
>>思路和分析
明确什么是子序列,"子序列是由数组派生而来的序列,删除(或不删除)数组中的元素而不改变其余元素的顺序"
子序列问题是动态规划解决的经典问题,当前下标 i 的递增子序列长度,其实和 i 之前的下标 j 的子序列长度有关系
>>动规五部曲
1.dp[i]的定义
- dp[i]表示 i 之前包括 i 的以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度
2.状态转移方程
- if(nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
注意:不是要 dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较,而是要取 dp[j] + 1的最大值
3.dp[i] 的初始化
- 每一个i,对应的dp[i](即最长递增子序列)起始大小至少都是1
4.确定遍历顺序
- dp[i] 是 由 0 到 i-1 各个位置的最长递增子序列 推导出来,那么遍历 i 一定是从前向后遍历
- j 其实就是遍历 0 到 i-1,那么是从前向后,还是从后到前都可以,只要是 0 到 i-1 的元素都遍历了就可以,所以习惯从前向后遍历
遍历 i 的循环在外层,遍历 j 则在内层,代码如下:
cpp
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}
5.举例推导dp数组
输入:[0,1,0,3,2],dp数组的变化如下:
cpp
class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
if (nums.size() <= 1) return nums.size();
vector<int> dp(nums.size(), 1);
int result = 0;
for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
}
if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}
return result;
}
};
- 时间复杂度: O(n^2)
- 空间复杂度: O(n)
参考和推荐文章、视频:
代码随想录 (programmercarl.com) 动态规划之子序列问题,元素不连续!| LeetCode:300.最长递增子序列_哔哩哔哩_bilibili