1.倒排索引 && 2.逻辑斯提回归算法

1.倒排索引

https://help.aliyun.com/zh/open-search/retrieval-engine-edition/introduction-to-inverted-indexes

倒排索引（Inverted Index）是一种数据结构，用于快速查找包含某个特定词或词语的文档。它主要用于全文搜索引擎等应用，允许用户根据关键词迅速定位相关文档。

倒排索引的基本思想是反转（倒排）文档-词语的映射关系。通常，在构建倒排索引时，会对文档集合中的每个文档进行分词，并记录每个词在哪些文档中出现。每个词都对应一个包含它的文档列表。这样，当需要搜索包含某个关键词的文档时，只需查找倒排索引中相应词的文档列表。

以下是构建倒排索引的基本步骤：

文档分词： 将每个文档进行分词，得到一组词语。
构建映射关系： 对每个词语，记录它在哪些文档中出现。
构建倒排索引： 对每个词语，建立一个索引，将其映射到包含它的文档列表。

倒排索引的优点包括：

高效的检索： 对于大规模文本数据，使用倒排索引可以快速定位包含特定关键词的文档。
省空间： 与直接存储文档之间的映射关系相比，倒排索引通常更省空间。
支持复杂查询： 可以轻松支持多关键词的布尔查询和短语查询等。

倒排索引在全文搜索引擎中被广泛应用，例如在Google、Bing等搜索引擎中，它们利用倒排索引实现了快速而准确的搜索功能。

2.逻辑斯提回归算法

逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）是一种用于二分类问题的机器学习算法，尽管名字中包含"回归"一词，但它实际上是一种分类算法而非回归算法。逻辑斯蒂回归可以用于解决概率估计问题，它输出一个在0和1之间的概率值，表示样本属于某一类的可能性。

逻辑斯蒂回归的基本原理如下：

假设函数： 假设函数采用逻辑斯蒂（sigmoid）函数，它的数学表达式为：

[ h_\theta(x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta^T x}} ]

其中，(h_\theta(x)) 是样本 (x) 属于正类的概率，(\theta) 是模型的参数向量。
损失函数： 逻辑斯蒂回归使用交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss）来衡量模型的性能，其数学表达式为：

[ J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \left[ y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)})) \right] ]

其中，(m) 是样本数量，(y^{(i)}) 是样本 (x^{(i)}) 的实际类别标签。
参数优化： 通过最小化损失函数来优化模型的参数 (\theta)。这通常使用梯度下降等优化算法来实现。

逻辑斯蒂回归适用于线性可分的二分类问题，它对特征进行线性组合，并通过逻辑斯蒂函数将结果映射到0到1之间的概率。在实践中，逻辑斯蒂回归广泛应用于各种领域，如医学、金融和自然语言处理等。

需要注意的是，逻辑斯蒂回归虽然名字中包含"回归"，但其实质是一种分类算法，用于解决二分类问题。在处理多分类问题时，可以通过扩展为多类别逻辑斯蒂回归（Multinomial Logistic Regression）或使用其他多分类算法。

2.1 机器学习算法（一）：逻辑回归模型（Logistic Regression, LR）

https://blog.csdn.net/weixin_39910711/article/details/81607386

（1）分类平面是平面，曲面或者超平面分别是什么含义与作用

在机器学习中，分类平面、曲面和超平面是描述决策边界（decision boundary）的概念，这些边界用于将不同类别的样本分开。

分类平面： 一般指的是在二维空间中的平面，用于将两个类别的数据点分开。在这种情况下，决策边界就是一个平面。分类平面用于解决简单的二分类问题，其中数据可以被直线或平面分开。
曲面： 当决策边界不能通过平面表示，而需要通过曲面来分隔不同类别的样本时，我们可以使用曲面。曲面可以是在三维空间中的曲面，也可以是在更高维度空间中的曲面。曲面常常用于解决二分类或多分类问题。
超平面： 超平面是在高维空间中的一个平面。在机器学习中，支持向量机（Support Vector Machine，SVM）等算法常常使用超平面作为决策边界。对于二分类问题，超平面是一个 (n-1) 维的平面，其中 n 是特征的维度。超平面将特征空间分成两个部分，每一部分对应一个类别。

这些概念的作用是定义了模型的决策边界，即在特征空间中，模型如何将不同类别的样本分隔开。决策边界的形状取决于模型的类型和复杂性。线性模型（如逻辑斯蒂回归、线性支持向量机）可能产生线性的决策边界（平面或超平面），而非线性模型（如核支持向量机、决策树）可能产生曲面或更为复杂的决策边界，以更好地拟合数据。

（2）什么是交叉熵？什么是MSE？分别有什么优势和劣势。

交叉熵（Cross-Entropy）和均方误差（Mean Squared Error，MSE）是用于衡量模型预测值与真实值之间差异的两种损失函数。它们在不同的任务和模型中有各自的优势和劣势。

1. 交叉熵（Cross-Entropy）：

交叉熵主要用于分类问题，特别是在神经网络中用作分类模型的损失函数。对于二分类问题，交叉熵损失函数的数学表达式如下：

优势：

适用于分类问题，尤其在深度学习中常用于训练分类模型。
对于分类问题，交叉熵损失函数可以更好地反映模型对不同类别的置信度。

劣势：

对于离散的标签，交叉熵更为适用，但在一些回归问题上不够合适。

2. 均方误差（Mean Squared Error，MSE）：

均方误差主要用于回归问题，衡量模型预测值与真实值之间的平方差的平均值。均方误差的数学表达式为：

其中，(y_i) 是真实标签，(\hat{y}_i) 是模型的预测值，(N) 是样本数量。

优势：

适用于回归问题，对于输出是连续值的任务较为合适。
对异常值不敏感，因为使用了平方。

劣势：

在处理分类问题时，MSE 通常不如交叉熵效果好，因为它对于分类问题中的概率分布不够敏感。

在选择损失函数时，需要根据任务类型和模型特性进行合适的选择。在分类任务中，通常使用交叉熵损失函数；而在回归任务中，可以选择均方误差或其他适用的回归损失函数。

2.2 【机器学习】逻辑回归（非常详细）

https://zhuanlan.zhihu.com/p/74874291

2.3 加入正则化项的作用，以及加入正则化项的形式

正则化是在机器学习模型的训练过程中为损失函数添加额外项，以避免过拟合和提高模型的泛化能力。通过正则化，可以对模型参数的大小进行限制，防止其过于复杂，减小模型对训练数据的过度拟合。

在损失函数中添加正则化项的一般形式为：

其中，(J(\theta)) 是包含正则化项的新损失函数，(\lambda) 是正则化强度的超参数，(\theta) 是模型的参数。

常用的正则化项包括 L1 正则化和 L2 正则化：

L2 正则化通过对权重的平方进行惩罚，倾向于让权重尽可能小，但不会让它们变为零。它有助于缓解特征间的共线性问题。

在机器学习中，正则化的作用有以下几点：

防止过拟合： 正则化通过限制模型的复杂度，防止模型在训练数据上过度拟合，提高对新数据的泛化能力。
特征选择： L1 正则化的特点是可以使一些特征的权重为零，从而实现特征选择，减少不重要的特征对模型的影响。
缓解共线性： L2 正则化有助于缓解特征之间的共线性问题，使模型对输入特征变化更为稳健。

在实际应用中，超参数 (\lambda) 的选择通常通过交叉验证等方法来确定。正则化在许多机器学习算法中都得到了广泛的应用，例如线性回归、逻辑斯蒂回归、支持向量机等。

2.4 为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

L1 正则化产生稀疏模型的原因：

L1 正则化通过在损失函数中添加 ( \lambda \sum_{i=1}^{n} |w_i| ) 项，其中 (w_i) 是模型的权重，(n) 是权重的数量。这个额外的惩罚项具有一种特殊的性质，它促使模型学习到的权重中的一些值变为零。

具体来说，L1 正则化在优化过程中，倾向于将某些特征对应的权重直接设为零。这是因为 L1 正则化的梯度在某个特征的权重等于零时不可导，而在其他地方都是可导的。因此，为了最小化损失函数，模型倾向于让一些特征的权重直接变为零，从而实现稀疏性。

对于具有大量特征的问题，L1 正则化能够帮助识别并保留对目标变量预测有贡献的关键特征，而将其他特征的权重设为零。这种特性在特征选择和解释模型中很有用。

L2 正则化防止过拟合的原因：

L2 正则化通过在损失函数中添加 ( \lambda \sum_{i=1}^{n} w_i^2 ) 项，其中 (w_i) 是模型的权重，(n) 是权重的数量。相比于 L1 正则化，L2 正则化的梯度在任何地方都是可导的。

L2 正则化的效果主要表现在对权重的平方进行惩罚。这导致模型在训练过程中倾向于将权重保持较小的值，避免过度拟合训练数据。

防止过拟合的原因在于，L2 正则化通过限制权重的大小，减缓了模型对训练数据中噪声的过度拟合。较小的权重值使得模型对输入特征的小变化不敏感，从而提高了模型对新数据的泛化能力。

综合来看，L1 正则化通过产生稀疏模型，有助于特征选择和模型解释；而 L2 正则化通过控制权重的大小，有助于防止模型过拟合。在实际应用中，可以根据问题的特性选择使用 L1 正则化、L2 正则化，或者它们的组合（弹性网络 Elastic Net）。

2.5 softmax函数

Softmax 函数是一种常用的激活函数，特别适用于多分类问题。它将一个包含任意实数的 K 维向量，映射为一个 K 维的概率分布，其中每个元素的取值范围在 (0, 1) 之间，并且所有元素的和为 1。

Softmax 函数的性质使得它在多分类问题中特别有用，因为它可以将模型的原始输出转换为类别概率。在深度学习中，通常将 Softmax 函数作为神经网络输出层的激活函数，以便将神经网络的原始输出转换为类别概率。

Softmax 函数的特点包括：

归一性： Softmax 函数的输出是一个概率分布，因此所有元素的和等于 1，这使得它可以表示一个完整的类别分布。
连续性： Softmax 函数是光滑的，可导数的，这在梯度下降等优化算法中很有用。
转换作用： Softmax 函数对原始分数进行了指数变换，使得大的分数更大，小的分数更小，这有助于突显模型在输入上的置信度。

Softmax 函数在交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）等多分类问题中的配合使用，使得模型能够输出概率分布，并且在训练过程中通过最小化损失函数来调整模型参数，以便更好地匹配真实的类别分布。

5 为什么逻辑斯蒂回归的输出值可以作为概率

逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）的输出值可以被解释为样本属于某一类别的概率，这是因为逻辑斯蒂回归使用了逻辑斯蒂函数（sigmoid函数）作为激活函数。

逻辑斯蒂函数的数学表达式为：

逻辑斯蒂函数具有以下性质：

输出范围：逻辑斯蒂函数的输出范围在 (0, 1) 之间，即对于任何实数输入，输出都在 0 到 1 之间。
单调性：逻辑斯蒂函数是单调递增的，即当 (z_1 < z_2) 时，(\sigma(z_1) < \sigma(z_2))。
饱和性：逻辑斯蒂函数在两端接近 0 或 1，但不会完全到达，因此避免了输出值严格等于 0 或 1。

由于逻辑斯蒂函数的输出在 (0, 1) 之间，并且趋向于0或1，可以将其解释为某个样本属于正类别的概率。在二分类问题中，通常设定一个阈值（例如0.5），当逻辑斯蒂函数的输出大于阈值时，将样本划分为正类别，否则划分为负类别。

这种概率的解释使得逻辑斯蒂回归在分类问题中非常有用，尤其是在需要估计概率而不仅仅是类别标签的情况下。逻辑斯蒂回归的训练过程通过最小化对数损失函数，使得模型输出的概率尽量接近真实标签的概率。