算法题中常用数学概念、公式、方法汇总（其二：几何）

几何

算法题中基本只会考察平面几何的内容，故本节内容只涉及简单的平面几何，不考虑立体几何等更复杂的情况

已知两点坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1)和 ( x 2 , y 2 ) (x_2, y_2) (x2,y2)，那么它们之间的曼哈顿距离定义为

d = ∣ x 1 − x 2 ∣ + ∣ y 1 − y 2 ∣ d = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| d=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣

即定义为横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对的和。用代码表示为

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d = abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2)

已知两点坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) (x_1, y_1) (x1,y1)和 ( x 2 , y 2 ) (x_2, y_2) (x2,y2)，那么它们之间的欧式距离定义为

d = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} d=(x1−x2)2+(y1−y2)2

即两点之间的直线距离。用代码表示为

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d = ((x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2)**0.5

或

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from math import sqrt
d = sqrt((x1 - x2)**2 + (y1 - y2)**2))

已知点 P P P的坐标为 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0)，直线 L L L的方程为 A x + B y + C = 0 Ax+By+C=0 Ax+By+C=0，那么点到直线的距离为

d = ∣ A x 0 + B y 0 + C ∣ A 2 + B 2 d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} d=A2+B2 ∣Ax0+By0+C∣

用代码表示为

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from math import sqrt
d = abs(A*x0 + B*y0 + C) / sqrt(A*A + B*B)

特别地，当

直线 L L L平行于 y y y轴，即直线方程的系数 B = 0 B = 0 B=0，直线方程可以简化为 x = − C A x=-\frac{C}{A} x=−AC，那么点到直线的距离为

d = ∣ x 0 + C A ∣ d = |x_0+\frac{C}{A}| d=∣x0+AC∣

直线 L L L平行于 x x x轴，即直线方程的系数 A = 0 A = 0 A=0，直线方程可以简化为 y = − C B y=-\frac{C}{B} y=−BC，那么点到直线的距离为

d = ∣ y 0 + C B ∣ d = |y_0+\frac{C}{B}| d=∣y0+BC∣

以上两种特殊情况，也是在算法题中较常见的情况。

已知两条平行直线 L 1 L_1 L1和 L 2 L_2 L2的方程分别为 A x + B y + C 1 = 0 Ax+By+C_1=0 Ax+By+C1=0和 A x + B y + C 2 = 0 Ax+By+C_2=0 Ax+By+C2=0，那么两直线之间的距离为

d = ∣ C 1 − C 2 ∣ A 2 + B 2 d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} d=A2+B2 ∣C1−C2∣

用代码表示为

python 复制代码

from math import sqrt
d = abs(C1 - C2) / sqrt(A*A + B*B)

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