代码随想录-刷题第三十九天

动态规划理论基础

动态规划的题目由重叠子问题构成，每一个状态一定是由上一个状态推导出来的。这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的。

动态规划五步曲

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

动态规划里面递推公式十分重要，但是确定dp数组，初始化，遍历顺序也同样十分重要，一定要严格按照这五步进行，将每一步的思路理清。

做动态规划的题目遇到问题时，最好的方式就是打印出dp数组，看是否和自己推理一致。

509. 斐波那契数

题目链接：509. 斐波那契数

思路：动态规划五步曲：

dp $i$ 的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp $i$
递推公式：dp $i$ = dp $i - 1$ + dp $i - 2$
初始化：dp $0$ = 0, dp $1$ = 1
从递推公式可以看出，一定是从前向后遍历的。
举例看是否可行，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看与推导的数列是否一致。

java 复制代码

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;             
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

可以发现，只需要维护两个数值，不需要记录整个序列。代码如下：

java 复制代码

class Solution {
    public int fib(int n) { // 动态规划
        if (n <= 1) return n;
        int dp0 = 0;
        int dp1 = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            int sum = dp1 + dp0;
            dp0 = dp1;
            dp1 = sum;
        }
        return dp1;
    }
}

70. 爬楼梯

题目链接：70. 爬楼梯

思路：动态规划五步曲

dp $i$ ：爬到第i层楼梯，有dp $i$ 种方法
递推公式：dp $i$ = dp $i - 1$ + dp $i - 2$

从dp $i$ 的定义可以看出，dp $i$ 可以有两个方向推出来。

首先是dp $i - 1$ ，上i-1层楼梯，有dp $i - 1$ 种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp $i$ 了么。

还有就是dp $i - 2$ ，上i-2层楼梯，有dp $i - 2$ 种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp $i$ 了么。

那么dp $i$ 就是 dp $i - 1$ 与dp $i - 2$ 之和！所以dp $i$ = dp $i - 1$ + dp $i - 2$ 。

在推导dp $i$ 的时候，一定要时刻想着dp $i$ 的定义，否则容易跑偏。
初始化：dp $1$ = 1, dp $2$ = 2

题目提示：1 <= n <= 45，所以本题不用考虑dp $0$ 的初始化！
从递推公式可以看出是从前向后遍历。
举例看是否可行

java 复制代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) return 1;
        // 1、确定dp数组及下标含义
        // dp[i]代表爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 2、确定递推函数
        // dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        // 3、确定初始化
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        // 4、确定遍历顺序
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

本题与斐波那契数相同，可以将空间复杂度从O(n)降为O(1)。

746. 使用最小花费爬楼梯

题目链接：746. 使用最小花费爬楼梯

思路：动态规划五步曲

dp $i$ 的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp $i$ 。

题目中说 "你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯" 也就是相当于跳到下标 0 或者下标 1 是不花费体力的，从下标 0 下标1 开始跳就要花费体力了。
递推公式：dp $i$ = Math.min(dp $i - 1$ + cost $i - 1$ , dp $i - 2$ + cost $i - 2$ )

可以有两个途径得到dp $i$ ，一个是dp $i - 1$ ，一个是dp $i - 2$ 。

dp $i - 1$ 跳到 dp $i$ 需要花费 dp $i - 1$ + cost $i - 1$ 。

dp $i - 2$ 跳到 dp $i$ 需要花费 dp $i - 2$ + cost $i - 2$ 。

那么究竟是从dp $i - 1$ 跳还是从dp $i - 2$ 跳呢？一定是选最小的！
初始化：dp $0$ = 0, dp $1$ = 0。我们认为第一步无需支付费用，所以到第一个台阶和到第二个台阶都是0。
遍历顺序为从前到后
举例推导dp数组

拿cost = $1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1$ ，来模拟一下dp数组的状态变化

如果代码写出来有问题，就把dp数组打印出来，看看和如上推导的是否一致。

java 复制代码

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int len = cost.length;
        int[] dp = new int[len + 1];
        // 每次最多走两步，前两个台阶无需支付费用
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        // 计算到达每一层台阶的最小费用
        for (int i = 2; i <= len; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[len];
    }
}

还可以优化空间复杂度，因为dp $i$ 就是由前两位推出来的，那么也不用dp数组了

java 复制代码

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int len = cost.length;
        // 每次最多走两步，前两个台阶无需支付费用
        int dp0 = 0;
        int dp1 = 0;
        // 计算到达每一层台阶的最小费用
        for (int i = 2; i <= len; i++) {
            int dp_i = Math.min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2]);
            dp0 = dp1;
            dp1 = dp_i;
        }
        return dp1;
    }
}