推断性统计分析方法的基础理论------常用的分布（两点分布、二项分布、正态分布[含标准正态分布]、χ^2^分布、t分布、F分布。
随机试验：结果不确定的实验，例如，进行一次抛硬币实验，结果是不确定的。对于随机试验的结果，称为随机事件。用于表示随机事件的变量称为随机变量，若随机变量的取值可一一列举，则称为离散型随机变量；若不可一一列举，则称为连续性随机变量。对于多个随机事件，若其结果互不影响，则称其相互独立。
概率(Probability)：用于描述随机事件发生的可能性的大小，常用符号P表示，如事件X的概率表示为P(X)。概率的取值范围为[0,1]，若随机事件是必然事件，则其概率为0，若是不可能事件，则其概率为0。
离散型随机变量X的n个取值为x~i~(i=1,2,...,n)，对应的概率为p~i~；连续型随机变量X的取值为x，x∈(a,b)，对应的概率为f(x)。
期望(Expect)：也称平均数、均值，常用于研究和概率相关的问题中，是随机变量的重要特征值，博士随机取值的集中趋势。期望的计算方法如下：①对于离散型随机变量，期望=随机变量的取值与其对应概率的乘积，再求和，即期望E(X)=∑x~i~p~i~；②对于连续型随机变量，期望=随机变量的取值与其对应概率密度的乘积，再求积分，即期望E(X)=∫(a-b)xf(x)dx。
离散型随机变量 E ( x ) = ∑ x i p i ; 连续型随机变量 E ( x ) = ∫ b a x f ( x ) d x 离散型随机变量E(x)=\sum x_ip_i;连续型随机变量E(x)=\int_b^axf(x)dx 离散型随机变量E(x)=∑xipi;连续型随机变量E(x)=∫baxf(x)dx
方差(Variance)：是随机变量的另一个重要特征值，表示随机事件取值的离散程度。在概率相关的问题中，方差的计算方法如下：①对于离散型随机变量，方差=随机变量的取值与其期望离差的平方的期望，即方差Var(X)=E[x~i~-E(x)]^2^；②对于连续型随机变量，方差=随机变量的取值与其期望离差的平方的期望，即方差Var(X)=E[x-E(X)]^2^。此外，不管是离散型随机变量还是连续型随机变量，其方差也可以通过公式Var(X)=E(X^2^)-[E(X)]^2^来计算。
离散型随机变量 V a r ( X ) = E [ x i − E ( X ) ] 2 ; 连续型随机变量 V a r ( X ) = E [ x − E ( X ) ] 2 ; 公式 V a r ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 离散型随机变量Var(X)=E[x_i-E(X)]^2;连续型随机变量Var(X)=E[x-E(X)]^2;公式Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 离散型随机变量Var(X)=E[xi−E(X)]2;连续型随机变量Var(X)=E[x−E(X)]2;公式Var(X)=E(X2)−[E(X)]2
一、两点分布与两项分布
在推断性统计分析方法中，总体比例是需要进行推断的重要参数，总体比例的推断需要用到两点分布和二项分布。
1、两点分布
两点分布是指只有两个结果的随机事件服从的分布，如抛硬币结果，满意情况。对于有多个结果的随机事件，可以通过构建对立事件来得到两点分布（如统计学专业and非统计学专业）。即可以借用"非"、"不"、"其他"等词来构造对立事件，对于两点分布的两个结果，在一次实验中，有且仅有一个结果发生，两个结果"非此即彼"。
用X表示需要研究的随机事件，其中X=1表示需要研究的结果，概率为p；X=0表示结果的对立面，概率为1-p。
两点分布用符号表示为X~B(1,p)
期望 E ( X ) = p ; 方差 V a r ( X ) = p ( 1 − p ) 期望E(X)=p;方差Var(X)=p(1-p) 期望E(X)=p;方差Var(X)=p(1−p)
2、二项分布
二项分布也称伯努利分布 ，将两点分布的实验独立重复进行多次，其结果就服从二项分布。设实验次数为n，两点分布中X=1的概率为p，则**二项分布可以记作X~B(n,p)**，其中B指伯努利实验(伯努利提出的一种独立重复只有两个结果的实验)。故两点分布可以看作二项分布的特殊情况，可以看作只有一次实验的二项分布，故两点分布可以用符号记作X~B(1,p)。
若两点分布中X=1的概率为p，X=0的概率为1-p，则在二项分布中，随机变量X有n+1个可能得取值结果：X=0到X=n
概率 P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k ; 期望 E ( X ) = n p ; 方差 V a r ( X ) = n p ( 1 − p ) 概率P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k};\quad 期望E(X)=np;\quad 方差Var(X)=np(1-p) 概率P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k;期望E(X)=np;方差Var(X)=np(1−p)
两点分布和二项分布的应用：在比例的研究中，比例实际上是服从二项分布的。以估计全校男生比例为例，估计全校男生的比例需要全校抽取100个人进行调查，抽到的每个人要不是男生，要不就是女生，即每个人的性别均服从两点分布，故独立重复100次，抽到100个人，这100人中男生的比例就是二项分布。
二、正态分布与标准正态分布
1、正态分布
正态分布，也称常态分布、高斯分布。最早是在二项分布的渐近公式中得到，后由高斯在研究测量误差时，推到得到其概率密度函数公式。
在数据分析中，如不确定数据的分布形态，常假定数据服从正态分布。
正态分布是一个连续型分布、设随机变量X服从正态分布，其期望为μ，方差为σ^2^，则其概率密度函数f(x)为：
f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < + ∞ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<+\infty f(x)=σ2π 1e−2σ2(x−μ)2,−∞<x<+∞
X服从正态分布，记作X~N(μ,σ^2^)
性质：①概率密度函数在x轴上方，即f(x)>0；②正态曲线的最高点对应的x值为期望μ，它也是分布的中位数和众数；③正态分布是一个分布族，每个特定正态分布都通过期望μ和方差σ^2^来区分；期望μ决定曲线最高点的位置，方差σ2决定曲线的平缓程度，即宽度；④曲线f(x)相对于期望μ对称，尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交；⑤正态曲线下的总面积(概率)等于1
正态曲线下某两点之间的面积（概率），如P(a<X<b)，可以使用分布函数来计算。
正态分布的分布函数F(x)表示在正态分布N(μ,σ^2^)，曲线中，X=x左侧的面积（概率），计算公式如下
F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t = ∫ − ∞ x 1 σ 2 π e − ( t − μ ) 2 2 σ 2 d t F(x)=P(X\leq x)=\int^x_{-\infty}f(t)dt=\int^x_{-\infty}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt F(x)=P(X≤x)=∫−∞xf(t)dt=∫−∞xσ2π 1e−2σ2(t−μ)2dt
正态分布的概率密度函数和分布函数
2、标准正态分布
标准正态分布是一种重要的特殊分布，常用一些特定的表示符号来表示其概率密度函数和分布函数。标准正态分布的概率密度函数通常用符号φ(x)表示，分布函数用Φ(x)表示，普通正态分布的概率密度函数通常用f(x)表示，分布函数用F(x)表示。
标准正态分布是正态分布中最简化的正态分布，取正态分布中的期望μ=0，方差σ^2^=1，得到标准正态分布的概率密度函数φ(x)为
ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 , − ∞ < x < + ∞ \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},-\infty<x<+\infty ϕ(x)=2π 1e−2x2,−∞<x<+∞
记作X~N(0,1)
标准正态分布的函数和图像与普通正态分布有相似的性质，不同的是：①标准正态曲线的最高点对应的x值在期望0处，即标准正态分布关于x=0，也就是y轴对称；②标准正态分布是唯一的、确定的、其对称轴是确定的，宽度也是确定的。
Φ ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ − ∞ x ϕ ( t ) d t = ∫ − ∞ x 1 2 π e − t 2 2 d t \Phi(x)=P(X\leq x)=\int^x_{-\infty}\phi(t)dt=\int^x_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt Φ(x)=P(X≤x)=∫−∞xϕ(t)dt=∫−∞x2π 1e−2t2dt
标准正态分布的分布函数里面没有了μ和σ，因为μ为0，σ为1。标准正态分布的分布函数图是确定的。
P ( X ≤ x ) = Φ ( x ) P ( x 1 < X ≤ x 2 ) = Φ ( x 2 ) − Φ ( x 1 ) P ( X > x 1 ) = 1 − P ( X ≤ x 1 ) = 1 − Φ ( x 1 ) P ( X < − x 1 ) = P ( X > x 1 ) = 1 − P ( X ≤ x 1 ) = 1 − Φ ( x 1 ) P ( ∣ X ∣ < x i ) = Φ ( x i ) − Φ ( − x i ) P(X\leq x)=\Phi(x)\\P(x_1<X\leq x_2)=\Phi(x_2)-\Phi(x_1)\\P(X>x_1)=1-P(X\leq x_1)=1-\Phi(x_1)\\P(X<-x_1)=P(X> x_1)=1-P(X\leq x_1)=1-\Phi(x_1)\\P(|X|<x_i)=\Phi(x_i)-\Phi(-x_i) P(X≤x)=Φ(x)P(x1<X≤x2)=Φ(x2)−Φ(x1)P(X>x1)=1−P(X≤x1)=1−Φ(x1)P(X<−x1)=P(X>x1)=1−P(X≤x1)=1−Φ(x1)P(∣X∣<xi)=Φ(xi)−Φ(−xi)
普通正态分布转变为标准正态分布：对于任何普通正态分布N(μ，σ^2^)，若X~N(μ，σ<sup>2</sup>)，则Z=(X-μ)/σ~N(0,1)，将其转换成标准正态分布（这里的Z表示经过标准化后，服从正态分布的随机变量。
如 X ∽ N ( 1 , 4 ) , 则有 P ( X ≤ 2.16 ) = P ( X − 1 2 ≤ 2.16 2 ) = P ( Z ≤ 0.58 ) = Φ ( 0.58 ) = 0.7190 如X\backsim N(1,4),则有P(X\leq2.16)=P(\frac{X-1}{2}\leq \frac{2.16}{2})=P(Z\leq0.58)=\Phi(0.58)=0.7190 如X∽N(1,4),则有P(X≤2.16)=P(2X−1≤22.16)=P(Z≤0.58)=Φ(0.58)=0.7190
若X~N(μ,σ^2^)，则有
P ( μ − k σ < X < μ + σ ) = P ( − k < X − μ σ < k ) = P ( − k < Z < k ) = 2 Φ ( k ) − 1 若 k = 1 , 则有 P ( μ − σ < X < μ + σ ) = 2 Φ ( 1 ) − 1 = 0.6826 ; 若 k = 2 , 则有 P ( μ − 2 σ < X < μ + 2 σ ) = 2 Φ ( 2 ) − 1 = 0.9544 ; 若 k = 3 , 则有 P ( μ − 3 σ < X < μ + 3 σ ) = 2 Φ ( 3 ) − 1 = 0.9974 ; P(\mu-k\sigma<X<\mu+\sigma)=P(-k<\frac{X-\mu}{\sigma}<k)=P(-k<Z<k)=2\Phi(k)-1\\若k=1,则有P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=2\Phi(1)-1=0.6826;\\若k=2,则有P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)=2\Phi(2)-1=0.9544;\\若k=3,则有P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)=2\Phi(3)-1=0.9974; P(μ−kσ<X<μ+σ)=P(−k<σX−μ<k)=P(−k<Z<k)=2Φ(k)−1若k=1,则有P(μ−σ<X<μ+σ)=2Φ(1)−1=0.6826;若k=2,则有P(μ−2σ<X<μ+2σ)=2Φ(2)−1=0.9544;若k=3,则有P(μ−3σ<X<μ+3σ)=2Φ(3)−1=0.9974;
常用均值加减3个标准差作为异常值的判断，因为99.74%的数据是在这个范围内的，只有极少数据落在这个范围内，故可以判断为异常值。
三、 χ 2 \chi^2 χ2分布
χ 2 \chi^2 χ2分布（卡方分布）。可以通过标准正态分布来定义 χ 2 \chi^2 χ2分布：若随机变量X~1~，X~2~，......，X~i~相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)。则它们的平方和 Y = ∑ i = 1 n X i 2 Y=\sum^n_{i=1}X_i^2 Y=∑i=1nXi2都服从自由度为n的 χ 2 \chi^2 χ2分布，记作Y~ χ 2 ( n ) \chi^2(n) χ2(n)。 χ 2 \chi^2 χ2分布的概率密度分布图如下。
性质：
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由于 χ 2 \chi^2 χ2分布是标准正态分布的平方和，故其变量值始终为正。
-
分布的形状取决于自由度的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称，当 n → ∞ n \to \infty n→∞时， χ 2 \chi^2 χ2分布的极限分布是正态分布。
-
可以证明得到， χ 2 \chi^2 χ2分布的期望 E ( χ 2 ) = n E(\chi^2)=n E(χ2)=n，方差 V a r ( χ 2 ) = 2 n Var(\chi^2)=2n Var(χ2)=2n，n是自由度。
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可加性：若U和V是两个相互独立的 χ 2 \chi^2 χ2分布， U ∽ χ 2 ( n 1 ) U \backsim \chi^2(n_1) U∽χ2(n1)， V ∽ χ 2 ( n 2 ) V \backsim \chi^2(n_2) V∽χ2(n2)，则U+V服从自由度为 n 1 + n 2 n_1+n_2 n1+n2的 χ 2 \chi^2 χ2分布。
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若 X ∽ N ( 0 , 1 ) X \backsim N(0,1) X∽N(0,1)，则 χ 2 ∽ χ 2 ( 1 ) \chi^2 \backsim \chi^2(1) χ2∽χ2(1)。
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若总体为正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)，则有 ( n − 1 ) s 2 σ 2 ∽ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \backsim \chi^2(n-1) σ2(n−1)s2∽χ2(n−1)。
证明：若总体为正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)，则有 ( n − 1 ) s 2 σ 2 ∽ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\backsim\chi^2(n-1) σ2(n−1)s2∽χ2(n−1)。
证：因为 s 2 = ∑ ( x i − x ˉ ) 2 n − 1 s^2=\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1} s2=n−1∑(xi−xˉ)2，所以 ( n − 1 ) s 2 = ∑ ( x i − x ˉ ) 2 (n-1)s^2=\sum(x_i-\bar x)^2 (n−1)s2=∑(xi−xˉ)2，所以 ( n − 1 ) s 2 σ 2 = ∑ ( x i − x ˉ ) 2 σ 2 = ∑ ( x i − x ˉ σ ) 2 \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}=\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{\sigma^2}=\sum ( \frac {x_i-\bar x}{\sigma} )^2 σ2(n−1)s2=σ2∑(xi−xˉ)2=∑(σxi−xˉ)2。因为总体分布为正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)，所以 x i − u σ ∽ N ( 0 , 1 ) \frac{x_i-u}{\sigma}\backsim N(0,1) σxi−u∽N(0,1)，则有 ∑ ( x i − μ σ 2 ) ∽ χ 2 ( n ) \sum(\frac{x_i-\mu}{\sigma}^2)\backsim \chi^2(n) ∑(σxi−μ2)∽χ2(n)，用 x ˉ \bar x xˉ替换 μ \mu μ会损失一个自由度，故有 ∑ ( x i − x ˉ σ ) 2 ∽ χ 2 ( n − 1 ) \sum(\frac{x_i-\bar x}{\sigma})^2\backsim\chi^2(n-1) ∑(σxi−xˉ)2∽χ2(n−1)，所以 ( n − 1 ) s 2 σ 2 ∽ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\backsim\chi^2(n-1) σ2(n−1)s2∽χ2(n−1)。
χ 2 \chi^2 χ2分布是相互独立的标准正态分布的平方和，故常用于离差平方和的研究中，如方差的计算、方差的假设检验、列联分析等问题。
四、t分布
t分布也称为、学生氏分布，在研究小样本问题时，标准正态分布存在较大误差，用t分布结果更为精确。
通过标准正态分布和 χ 2 \chi^2 χ2分布来定义t分布：设 X ∽ N ( 0 , 1 ) , Y ∽ χ 2 ( n ) X \backsim N(0,1),Y \backsim \chi^2(n) X∽N(0,1),Y∽χ2(n)，且X与Y相互独立，则 t = X { Y n } ∽ t ( n ) t=\frac{X}{\sqrt\{\frac{Y}{n}\}}\backsim t(n) t={ nY}X∽t(n)。其分布的概率密度分布图如下。
性质：
- 当n>=2时，t分布的数学期望E(t)=0；，当n>=3时，t分布的方差 V a r ( t ) = n n − 2 Var(t)=\frac{n}{n-2} Var(t)=n−2n，结合t分布和标准正态分布的形状，两者均关于y轴对称（期望均为0），但t分布的方差稍大于1，导致t分布比标准正态分布稍微宽一点，从而在对称轴出t分布的峰值稍微小一点。
- 随着自由度n的增加，t分布的概率密度函数越来越接近标准正态分布的概率密度函数，在实际中，当n>=30时，t分布于标准正态分布非常接近。
- 若总体为正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)，且 x ˉ ∽ N ( μ , σ 2 n ) \bar x \backsim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}) xˉ∽N(μ,nσ2)，则有 x ˉ − μ s / n ∽ t ( n , 1 ) \frac{\bar x-\mu}{s/ \sqrt n}\backsim t(n,1) s/n xˉ−μ∽t(n,1)。
证明：因为 x ˉ ∽ N ( μ , σ 2 n ) \bar x \backsim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}) xˉ∽N(μ,nσ2)，所以KaTeX parse error: Undefined control sequence: \backsimN at position 34: ...\sigma/\sqrt n}\̲b̲a̲c̲k̲s̲i̲m̲N̲(0,1)，故 x ˉ − μ s / n = ( x ˉ − μ ) ( σ / n ) ( s / n ) σ / n = N ( 0 , 1 ) s / σ = N ( 0 , 1 ) s 2 / σ 2 = N ( 0 , 1 ) ( n − 1 ) s 2 / σ 2 n − 1 = N ( 0 , 1 ) χ 2 ( n − 1 ) n − 1 ∽ t ( n − 1 ) \frac{\bar x-\mu}{s/\sqrt n}=\frac{\frac{(\bar x-\mu)}{(\sigma/\sqrt n)}}{\frac{(s/\sqrt n)}{\sigma/\sqrt n}}=\frac{N(0,1)}{s/\sigma}=\frac{N(0,1)}{\sqrt{s^2/\sigma^2}}=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\frac{(n-1)s^2/\sigma^2}{n-1}}}=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\frac{\chi^2(n-1)}{n-1}}}\backsim t(n-1) s/n xˉ−μ=σ/n (s/n )(σ/n )(xˉ−μ)=s/σN(0,1)=s2/σ2 N(0,1)=n−1(n−1)s2/σ2 N(0,1)=n−1χ2(n−1) N(0,1)∽t(n−1)。
t分布的提出为统计学补充和完善了小样本理论，在实际数据分析中，小样本问题的研究需要用到t分布，且由于在大样本情况下，t分布非常接近标准正态分布，在很多学科中，t分布集合替代了标准正态分布（小样本需要用t分布，大样本也可以用t分布）
五、F分布
可以通过 χ 2 \chi^2 χ2分布来定义F分布：设 U ∽ χ 2 ( m ) , V ∽ χ 2 ( n ) U \backsim\chi^2(m),V \backsim \chi^2(n) U∽χ2(m),V∽χ2(n)，且U和V相互独立，则 F = U / m V / n ∽ F ( m , n ) F=\frac{U/m}{V/n} \backsim F(m,n) F=V/nU/m∽F(m,n)。
F分布的概率密度分布图如下。
性质：
- F分布的期望 E ( F ) = n n − 2 , n > 2 ; 方差 V a r ( F ) = 2 n ( m + n − 2 ) m ( n − 2 ) ( n − 4 ) , n > 4 E(F)=\frac{n}{n-2},n>2;方差Var(F)=\frac{2n(m+n-2)}{m(n-2)(n-4)},n>4 E(F)=n−2n,n>2;方差Var(F)=m(n−2)(n−4)2n(m+n−2),n>4。
- F分布的p分位数 F p ( m , n ) = 1 F 1 − p ( n , m ) F_p(m,n)=\frac{1}{F_{1-p}(n,m)} Fp(m,n)=F1−p(n,m)1。
- 若 t ∽ t ( n ) , 则 t 2 ∽ F ( 1 , n ) t\backsim t(n),则t^2 \backsim F(1,n) t∽t(n),则t2∽F(1,n)。
证明：已知 t ∽ t ( n ) t \backsim t(n) t∽t(n)，所以 t = N ( 0 , 1 ) χ 2 ( n ) / n t=\frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(n)/n}} t=χ2(n)/n N(0,1)，故 t 2 = [ N ( 0 , 1 ) ] 2 χ 2 ( n ) / n = χ 2 ( 1 ) χ 2 ( n ) / n = χ 2 ( 1 ) / 1 χ 2 ( n ) / n = F ( 1 , n ) t^2=\frac{[N(0,1)]^2}{\chi^2(n)/n}=\frac{\chi^2(1)}{\chi^2(n)/n}=\frac{\chi^2(1)/1}{\chi^2(n)/n}=F(1,n) t2=χ2(n)/n[N(0,1)]2=χ2(n)/nχ2(1)=χ2(n)/nχ2(1)/1=F(1,n)。
- 同一正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)的两个独立样本方差分别为 s 1 2 = ∑ i = 1 n 1 ( x i − x ˉ ) 2 n 1 − 1 . s 2 2 = ∑ i = 1 n 2 ( x i − x ˉ ) 2 n 2 − 1 , 则有 s 1 2 s 2 2 ∽ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) s_1^2=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(x_i-\bar x)^2}{n_1-1}.s_2^2=\frac{\sum_{i=1}^{n_2}(x_i-\bar x)^2}{n_2-1},则有\frac{s_1^2}{s_2^2}\backsim F(n_1-1,n_2-1) s12=n1−1∑i=1n1(xi−xˉ)2.s22=n2−1∑i=1n2(xi−xˉ)2,则有s22s12∽F(n1−1,n2−1)。
证明：因为总体为正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)，所以 ( n 1 − 1 ) s 1 2 σ 2 ∽ χ 2 ( n 1 − 1 ) , ( n 2 − 1 ) s 2 2 σ 2 ∽ χ 2 ( n 2 − 1 ) , 故 s 1 2 s 2 2 = ( n 1 − 1 ) s 1 2 σ 2 / ( n 1 − 1 ) ( n 2 − 1 ) s 2 2 σ 2 / ( n 2 − 1 ) = χ 2 ( n 1 − 1 ) / ( n 1 − 1 ) χ 2 ( n 2 − 1 ) / ( n 2 − 1 ) ∽ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) \frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma^2}\backsim \chi^2(n_1-1),\frac{(n_2-1)s^2_2}{\sigma^2}\backsim \chi^2(n_2-1),故\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma^2}/(n_1-1)}{\frac{(n_2-1)s^2_2}{\sigma^2}/(n_2-1)}=\frac{\chi^2(n_1-1)/(n_1-1)}{\chi^2(n_2-1)/(n_2-1)}\backsim F(n_1-1,n_2-1) σ2(n1−1)s12∽χ2(n1−1),σ2(n2−1)s22∽χ2(n2−1),故s22s12=σ2(n2−1)s22/(n2−1)σ2(n1−1)s12/(n1−1)=χ2(n2−1)/(n2−1)χ2(n1−1)/(n1−1)∽F(n1−1,n2−1)。
F分布广泛应用于离差平方和的比较问题中，在比较中采用除法，结果会服从F分布。在方差分析、回归方程的显著性检验中都应用F分布。
六、分位点（是一个点）
分布函数表示了分布中某个点左侧的面积（概率），与此同时，用右侧面积来定义（分位点）
以标准正态分布为例，其分位点记为 Z α Z_{\alpha} Zα， Z α Z_{\alpha} Zα表示在标准正态分布N（0,1）中，右侧分布（概率）为α的点。
分位点 Z α Z_{\alpha} Zα与分布函数 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)不一样，前者根据右侧面积（概率）来确定X的值，后者根据X的值来确定其左侧面积（概率）。两者已知条件和目标刚好相反，故可根据分布函数表来确定求解分位点 Z α Z_{\alpha} Zα。
已知 Z α Z_{\alpha} Zα右侧面积为 α \alpha α，求解 Z α Z_{\alpha} Zα：① Z α Z_{\alpha} Zα右侧面积为 α \alpha α，则左侧面积为 1 − α 1-\alpha 1−α；②从表中找面积 1 − α 1-\alpha 1−α，则对应对应的最外侧列十行的值为 Z α Z_{\alpha} Zα。
同理有 t α 、 χ α 2 、 F α t_{\alpha}、\chi_{\alpha}^2、F_{\alpha} tα、χα2、Fα分位点实际上是分布中的临界值，在参数估计和假设检验等方法中非常常用。