线性矩阵不等式LMI与李雅普诺夫Lyapunov稳定性

文章目录

[线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）](#线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）)
- - 例子
Lyapunov稳定性
[Schur Complement](#Schur Complement)
- - 定义
  - [Schur Complement作用/性质](#Schur Complement作用/性质)
  - [利用Schur Complement将LMI和Lyapunov联系起来](#利用Schur Complement将LMI和Lyapunov联系起来)

线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequality，LMI）

形式为
LMI ( y ) = A 0 + A 1 y 1 + A 2 y 2 + ⋯ ≥ 0 \text{LMI}(y)=A_0+A_1y_1+A_2y_2+\cdots \geq 0 LMI(y)=A0+A1y1+A2y2+⋯≥0

其中 A 0 , A 1 , A 2 , . . . A_0,A_1,A_2,... A0,A1,A2,...为对称方阵。

例子

若
LMI ( y ) = [ y 1 + y 2 y 2 + 1 y 1 + 1 y 3 ] , \text{LMI}(y)=\left[ \begin{matrix} y_1+y_2 & y_2+1 \\ y_1+1&y_3\end{matrix} \right], LMI(y)=[y1+y2y1+1y2+1y3],

则对应
A 0 = [ 0 1 1 0 ] , A 1 = [ 1 0 1 0 ] , A 2 = [ 1 1 0 0 ] , A 3 = [ 0 0 0 1 . ] A_0=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\1&0\end{matrix} \right], A_1=\left[ \begin{matrix} 1& 0\\ 1&0\end{matrix} \right],A_2=\left[ \begin{matrix} 1 &1 \\ 0&0\end{matrix} \right],A_3=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0&1\end{matrix} .\right] A0=[0110],A1=[1100],A2=[1010],A3=[0001.]

随着解决线性矩阵不等式的内点法的提出、以及 MATLAB 软件中 LMI 工具箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的注意和重视。

Lyapunov稳定性

假设可以找到一个正定的Lyapunov函数 V V V（即 V > 0 V>0 V>0）且 V ˙ < 0 \dot{V}<0 V˙<0，则可以证明系统是稳定的。以线性系统为例：
x ˙ = A x + B u . \dot{x}=Ax+Bu. x˙=Ax+Bu.

假设反馈控制
u = − K x . u=-Kx. u=−Kx.

取Lyapunov函数为
V ( x ) = x T P x , V(x)=x^{T}Px, V(x)=xTPx,

其中 P P P正定且对称，即 P ≻ 0 , P = P T P\succ0,P=P^{T} P≻0,P=PT。Lyapunov的导数为
V ˙ ( x ) = x T P x ˙ + x ˙ T P x = x T P ( A − B K ) x + x T ( A − B K ) T P x = − x T Q x , \begin{aligned} \dot{V}(x)= & x^TP\dot{x}+\dot{x}^TPx \\ =&x^TP(A-BK)x+x^T(A-BK)^TPx\\ =&-x^TQx, \end{aligned} V˙(x)===xTPx˙+x˙TPxxTP(A−BK)x+xT(A−BK)TPx−xTQx,

其中
Q = − ( A T P + P A − P B K − K T B T P ) . Q=-(A^TP+PA-PBK-K^TB^TP). Q=−(ATP+PA−PBK−KTBTP).

若能证明 Q ≻ 0 Q \succ 0 Q≻0，则该系统渐近稳定。

最优控制中常取
K = − 1 2 R − 1 B T P T , K=-\frac{1}{2}R^{-1}B^TP^T, K=−21R−1BTPT,

其中，前提矩阵 R R R满足 R = R T ≻ 0 R=R^T \succ 0 R=RT≻0、 R − 1 R^{-1} R−1存在且有界，于是，
Q = − ( A T P + P A − P B R − 1 B T P T ) . (1) Q=-(A^TP+PA-PBR^{-1}B^TP^T). \tag{1} Q=−(ATP+PA−PBR−1BTPT).(1)

Schur Complement

Schur Complement可用于对一个块矩阵进行等价转换。

定义

假设一个 n × n n \times n n×n的矩阵 M M M可以写成一个块矩阵形式：
M = [ A B C D ] . M=\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]. M=[ACBD].

若 D D D是可逆的，则 D D D在 M M M中的舒尔补存在且为
A − B D − 1 C ; A-BD^{-1}C; A−BD−1C;
若 A A A是可逆的，则 A A A在 M M M中的舒尔补存在且为
D − C A − 1 B . D-CA^{-1}B. D−CA−1B.
"来历" ：对方程
[ A B C D ] [ x y ] = [ p q ] , \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} p \\ q \end{matrix} \right], [ACBD][xy]=[pq],

使用高斯消元法，由 D D D可逆有
( A − B D − 1 C ) x = p − B D − 1 q . (A-BD^{-1}C)x=p-BD^{-1}q. (A−BD−1C)x=p−BD−1q.

由 A A A可逆有
( D − C A − 1 B ) y = q − C A − 1 p . (D-CA^{-1}B)y=q-CA^{-1}p. (D−CA−1B)y=q−CA−1p.

未知数前面的系数即为舒尔补。

Schur Complement作用/性质

将 M M M分别变为上三角或者下三角矩阵：若 D D D可逆，则
M = [ A B C D ] = [ I B D − 1 0 I ] [ A − B D − 1 C 0 0 D ] [ I 0 D − 1 C I ] ; M=\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} I & BD^{-1} \\ 0 & I \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} A-BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} I & 0 \\ D^{-1}C & I \end{matrix} \right]; M=[ACBD]=[I0BD−1I][A−BD−1C00D][ID−1C0I];

若 A A A可逆，则
M = [ A B C D ] = [ I 0 C A − 1 I ] [ A 0 0 D − C A − 1 B ] [ I A − 1 B 0 I ] . M=\left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} I & 0\\ CA^{-1} & I \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} I & A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix} \right]. M=[ACBD]=[ICA−10I][A00D−CA−1B][I0A−1BI].

利用该性质可以快速求解矩阵 M M M的逆。
特殊性质：若 M M M是对称的，即
M = [ A B B T C ] , M=\left[ \begin{matrix} A & B \\ B^T & C \end{matrix} \right], M=[ABTBC],

若 C C C可逆，则有下列性质：
M ≻ 0 M \succ 0 M≻0，则有且仅有 C ≻ 0 C \succ 0 C≻0且 A − B C − 1 B T ≻ 0 A-BC^{-1}B^T \succ 0 A−BC−1BT≻0；
若 C ≻ 0 C \succ 0 C≻0，则 M ≻ 0 M \succ 0 M≻0有且仅有 A − B C − 1 B T ≻ 0 A-BC^{-1}B ^T\succ 0 A−BC−1BT≻0。

利用Schur Complement将LMI和Lyapunov联系起来

利用舒尔补的特殊性质，式 ( 1 ) (1) (1)大于0等效为
[ − A T P − P A P B B T P T R ] ≻ 0. \left[ \begin{matrix} -A^TP-PA & PB \\ B^TP^T&R \end{matrix} \right] \succ 0. [−ATP−PABTPTPBR]≻0.

Lyapunov稳定性的判定条件转化为线性形式，从而方便用软件包数值求解。