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引言
从这一篇文章开始，就开始学习动态规划了，也就是DP了，然后就是DP可以说是整个算法中的最难学的部分之一，好写是非常的好写的，每道题也只有很短的代码量，但是主要是它这个动归方程不好想，也不好推导出来，而且这类题都没有一个好的模板，只能说都是通过大量的做题凭经验得出来的，所以说得好好做题，好好思考，话不多说，那就开始吧。
一、01背包
问题：每件物品有各自的重量和价值，从n件物品中任选多个，重量不能超过m，每件物品只能选一次，求能选出物品的最大价值
1.二维代码模板
思想：第 i i i件物品，要么拿要么不拿，如果不拿那就是 f [ i − 1 ] [ j ] f[i-1][j] f[i−1][j]，如果拿，那么最大值为 f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j − v [ i ] ] + w [ i ] f[i][j] = f[i-1][j-v[i]] + w[i] f[i][j]=f[i−1][j−v[i]]+w[i]，也就是先找把第i个物品去除的最大值，再加上这个物品就是拿的最大值。
cpp
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N]; // 第i件物品的体积，价值（权重）
int f[N][N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{
f[i][j] = f[i-1][j];
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
}
}
printf("%d\n", f[n][m]);
return 0;
}2.一维代码模板
优化对代码或方程进行等价变形
思路：首先 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 中用的都是 i − 1 i-1 i−1，而没有用到 i − 2 , i − 3... i-2,i-3... i−2,i−3...，所以就可以用滚动数组来，就可以去掉一维。然后对方程进行等价变形，之后由于 j j j是从 v [ i ] v[i] v[i]到 m m m，由小到大变的，所以再计算 f [ j − v [ i ] ] f[j-v[i]] f[j−v[i]]时，由于 j − v [ i ] < = j j-v[i] <= j j−v[i]<=j，所以 f [ j − v [ i ] ] f[j-v[i]] f[j−v[i]]计算的是第 i i i层的已经被算过了，而应该算的是 i − 1 i-1 i−1层的，所以 j j j改为由大到小遍历，这样 f [ j − v [ i ] ] f[j-v[i]] f[j−v[i]]在遍历时就是第i-1层的了，这样就对了
cpp
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = m; j >= v[i]; --j)
{
f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);
}
}
printf("%d\n", f[m]);
return 0;
}二、完全背包
问题：每个物品可以选无数个，其余跟01背包是一样的
1.朴素代码模板
cpp
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{
for(int k = 0; k * v[i] <= j; ++k)
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i]);
}
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}2.二维优化代码模板
核心：在k次循环里 f [ i ] [ j ] = f [ i ] [ j − v [ i ] ] + w [ i ] f[i][j] = f[i][j-v[i]] + w[i] f[i][j]=f[i][j−v[i]]+w[i]
cpp
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{
f[i][j] = f[i-1][j];
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j-v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}3.一维代码模板
思路:降维的过程，跟01背包是一样的，然后由于这个所优化后的 f [ j − v [ i ] ] f[j-v[i]] f[j−v[i]]就是第i层的，所以 j j j从小到大遍历就是正确的。
然后这个代码发现跟01背包基本是一样的，只不过 j j j是01背包是从大到小，完全背包是从小到大。
cpp
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = v[i]; j <= m; ++j)
{
f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}三、多重背包
问题：每件物品有 s [ i ] s[i] s[i]个，其余跟完全背包一样
1.朴素做法
思想：跟完全背包一样，只不过k限制个数
cpp
const int N = 110;
int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{
for(int k = 0; v[i] * k <= j && k <= s[i]; ++k)
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-k*v[i]] + k*w[i]); //一个都不选，选k个
}
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}2.优化版本
思想：就是把这个背包变成01背包，第 i i i件物品选 k k k件，把这 k k k件物品当成一个物品，k以 2 2 2次幂增长，最后01背包选的时候可以通过选多个物品可以凑出 2 k 2^k 2k种可能的结果。然后每个物品依次这样，体积和权重就是单个乘以选的总数，最后再用01背包解决就行了，相当于把所有种组合罗列出来，算最优解。
cpp
const int N = 25000, M = 2010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
int cnt = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
int a, b, s;
cin >> a >> b >> s;
int k = 1;
while(k <= s)
{
cnt++;
v[cnt] = a * k;
w[cnt] = b * k;
s -= k;
k <<= 1; //每件物品背包里会有k^2个，然后可以凑出任意一种情况
}
if(s > 0)
{
cnt++;
v[cnt] = a * s;
w[cnt] = b * s;
}
}
n = cnt;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = m; j >= v[i]; --j)
{
f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}四、分组背包
问题：有多个背包，每个背包中最多只能选一件物品，在规定的体积中，选出最大价值
1.朴素做法
思想：其实就是多个01背包，每个背包中要么不选，要么选一个
cpp
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
cin >> s[i];
for(int j = 1; j <= s[i]; ++j) cin >> v[i][j] >> w[i][j];
}
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{
f[i][j] = f[i-1][j]; //不选
for(int k = 1; k <= s[i]; ++k)
{
if(v[i][k] <= j) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-v[i][k]] + w[i][k]); //选第k个
}
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}2.一维优化
思想：跟之前讲的优化一样
cpp
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
cin >> s[i];
for(int j = 1; j <= s[i]; ++j) cin >> v[i][j] >> w[i][j];
}
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = m; j > 0; --j)
{
for(int k = 1; k <= s[i]; ++k)
{
if(v[i][k] <= j) f[j] = max(f[j], f[j-v[i][k]] + w[i][k]);
}
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}