【C++从0到王者】第五十二站：跳表

青色_忘川2024-03-10 20:35

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一、什么是跳表

skiplist本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的，可以作为key或者key/value的查找模型。

skiplist，顾名思义，首先它是一个list。实际上，它是在有序链表的基础上发展起来的。如果是一个有序的链表，查找数据的时间复杂度是O(N)。
William Pugh开始的优化思路：

  1. 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图b所示。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半。

  2. 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。如下图c，这样搜索效率就进一步提高了。

  3. skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)。

  1. skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了。细节过程入下图：

比如在下图的第三个跳表中，如果我们想要查找19的话是这样进行的

  1. 比9大，向右走，跳跃到9
  2. 比21小，向下走
  3. 比17大，向右走，跳跃到17
  4. 比21小，向下走
  5. 根19相等，找到了

如果我们采用每个节点的高度是随机的，那么这样的话，每个节点插入和删除就跟其他节点没有关系了，都是独立的，不需要调整其他节点的层数了

二、skiplist的效率

这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限制，其次会设置一个多增加一层的概率p。那么计算这个随机层数的伪代码如下图：

在Redis的skiplist实现中，这两个参数的取值为：

cpp 复制代码 
p = 1/4
maxLevel = 32

根据前面randomLevel()的伪码，我们很容易看出，产生越高的节点层数，概率越低。定量的分析

如下：

  • 节点层数至少为1。而大于1的节点层数，满足一个概率分布。

  • 节点层数恰好等于1的概率为1-p。

  • 节点层数大于等于2的概率为p，而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)。

  • 节点层数大于等于3的概率为p^2，而节点层数恰好等于3的概率为p^2*(1-p)。

  • 节点层数大于等于4的概率为p^3，而节点层数恰好等于4的概率为p^3*(1-p)。

    ......

  • 因此，一个节点的平均层数（也即包含的平均指针数目），计算如下

  • 现在很容易计算出：

  • 当p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；

  • 当p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33。

  • 跳表的平均时间复杂度为O(logN)

三、skiplist的实现

这里我们使用这道题目来进行实现

跳表

我们的完整代码为

cpp 复制代码 
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <iostream>
#include <vector>
#include <time.h>
using namespace std;
struct SkiplistNode //跳表节点
{
    int _val;       //该节点所存储的值
    vector<SkiplistNode*> _nextV; //表明该节点所指向的下面的节点的指针。因为跳表会有多个指针，这个数量是不确定的，所以我们使用一个vector
    SkiplistNode(int val, int level) //一个跳表节点被创建出来以后，需要它的值和该节点的层数，这是它最关键的两个信息
        :_val(val)
        , _nextV(level, nullptr) //这里姑且先将新开的一个跳表节点的所有指针全部置空，后序在进行处理
    {}
};
class Skiplist {
    typedef SkiplistNode Node;
public:
    Skiplist() {
        srand(time(nullptr)); //因为跳表节点的层数是随机的，所以我们一定会用到rand函数，所以就要生成随机数种子，而它只需要调用一次，所以我们不妨直接在构造函数里面去调用
        //头节点，层数是1
        _head = new SkiplistNode(-1, 1); //当我们的跳表生成以后，我们让跳表姑且只有一个节点，并且这个节点不存储任何有效值，且其层数为1
    }
    //查找一个目标值是否在跳表中，如果存在，则返回true
    bool search(int target) {
        Node* cur = _head; //从头节点开始一直往下去遍历
        int level = _head->_nextV.size() - 1; //head的最高层数，其实也就是我们整个跳表的最高层数已经被确定了
        //因为寻找逻辑是向右和像下去跑的。如果向右去跑，一定是target太大了导致的，这时候一定会导致的是最终cur->_nextV[level]为nullptr。
        //此时跟据我们内部的逻辑也会向下走。最终level一定会降低到-1，此时就是没有找到了
        //如果原来的值太小，那么一定是一直往下跳，最终level也会降低到-1
        while (level >= 0)  
        {
            //cur的第level层所指向的那个结点的val小于目标结点
            //注意，这里cur的第level层可能指向空，但是右边可能还有结点，所以我们也需要让它向下移动
            if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < target)
            {
                //直接跳到这个结点去，即向右跳
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            //如果大于
            else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val > target)
            {
                //向下跳
                level--;
            }
            else
            {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }

    //这个函数的功能是，寻找指向num节点的所有指针。即前面的指向它的节点我们都会通过这个函数最终找到，返回一个vector，这个vector就是按照层去排好的
    vector<Node*> FindPrevNode(int num)
    {
        //需要知道插入位置每一层的前一个结点指针。
        Node* cur = _head;
        int level = _head->_nextV.size() - 1; //先算出当前最大层数
        //我们要将每一层的前一个节点指针放入prevV中，注意level这个其实是下标，我们这里要是个数，所以要+1，并且它的初始时刻一定为_head。
        //prevV的数量为_head的层数的原因是，_head一定是当前跳表中层数最大的节点之一，即便后序num的比_head的的层数要高，我们后序可以通过resize去再次拔高_head
        //而初始时刻设置为_head的原因是，任何一个节点，如果它的层数
        //如果它和_head之间某一层没有相隔的节点，那么它此时的该层的上一个节点就是_head，而我们并不知道我们要找的num有几层（因为还没有定下来），所以我们可以直接将全部值设置为_head
        //然后如果它的prevV[level]不是_head了，那么直接覆盖即可。
        vector<Node*> prevV(level + 1, _head);
        //num存在的位置一定是要比cur的后面节点小于等于，但是又比cur节点处的位置大的值。
        while (level >= 0)
        {
            //目标值比下一个节点值要大，向右走
            if (cur->_nextV[level] && cur->_nextV[level]->_val < num)
            {
                //cur向右走
                cur = cur->_nextV[level];
            }
            //比num小于等于cur处，就可以更新它的前一个节点了，就是cur,然后我们这一层就找好了，去找下一层了。
            else if (cur->_nextV[level] == nullptr || cur->_nextV[level]->_val >= num)
            {
                //更新前一个结点    
                //如果等于nullptr，那么其实该处已经映射到头了，只要num是够高的，那么该节点就是指向num的。对于num小于等于，也是一样的道理。说明num就存在于该处
                //他的节点一定不会收到后面的影响了。所以只需要将前面所有节点的投影给拿出来即可
                prevV[level] = cur; 

                level--;
            }
        }
        return prevV;
    }

    void add(int num) 
    {
        //num将要插入位置的每一层的上一个节点指针数组
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);

        int n = RandomLevel(); //随机生成一个层数
        Node* newnode = new Node(num, n); //创建好新的跳表节点
        if (n > _head->_nextV.size())//如果新的层数已经超出了原有的层数，那么_head需要拔高，且prevV里面的数据也要拔高
        {
            _head->_nextV.resize(n, nullptr);
            prevV.resize(n, _head);
        }
        //连接前后节点
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            newnode->_nextV[i] = prevV[i]->_nextV[i];
            prevV[i]->_nextV[i] = newnode;
        }
    }

    bool erase(int num) 
    {
        //找到num对应的上一个节点指针数组
        vector<Node*> prevV = FindPrevNode(num);
        //最底层的下一个不是val，没有这个节点
        if (prevV[0]->_nextV[0] == nullptr || prevV[0]->_nextV[0]->_val != num)
        {
            return false;
        }
        else
        {
            //要删除的节点就是最底层的节点指向的下一个节点
            Node* del = prevV[0]->_nextV[0];
            //del每一层的前后指针进行连接
            for (size_t i = 0; i < del->_nextV.size(); i++)
            {
                prevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
            }
            delete del;
            
            //如果删除了最高层的节点，降低一下头节点的层数
            int i = _head->_nextV.size() - 1;
            while (i > 0) //注意，起码要给这个节点留上一层。
            {
                if (_head->_nextV[i] == nullptr)
                {
                    --i; //寻找_head的高度
                }
                else
                {
                    break;
                }
            }
            _head->_nextV.resize(i + 1); //降低_head的高度

            return true;
        }
    }
    //通过概率去控制层数的函数
    int RandomLevel()
    {
        size_t level = 1;
        while (rand() < RAND_MAX * _p && level < _maxLevel)
        {
            ++level;
        }
        return level;
    }


    //方便我们去观察跳表，去打印跳表
    void Print()
    {
        //int level = _head->_nextV.size();
        //for (int i = level - 1; i >= 0; i--)
        //{
        //    Node* cur = _head;
        //    while (cur)
        //    {
        //        printf("%d->", cur->_val);
        //        cur = cur->_nextV[i];
        //    }
        //    cout << endl;
        //}
        Node* cur = _head;
        while (cur)
        {
            for (auto e : cur->_nextV)
            {
                printf("%2d", cur->_val);
            }
            cout << endl;
            // 打印每个每个cur节点
            for (auto e : cur->_nextV)
            {
                printf("%2s", "↓");
            }
            printf("\n");

            cur = cur->_nextV[0];
        }



    }
private:
    Node* _head; //跳表的第一个节点指针，即头节点，不存储有效数据
    size_t _maxLevel = 32; //最高的层数
    double _p = 0.5; //一层的概率
};

int main()
{
    Skiplist sl;
    sl.Print();
    cout << "-------------------" << endl;

    int a[] = { 5,2,3,8,9,6 };
    for (auto e : a)
    {
        sl.add(e);
        sl.Print();
        cout << "-------------------" << endl;
    }
    for (auto e : a)
    {
        sl.erase(e);
        sl.Print();
        cout << "-------------------" << endl;
    }

    return 0;
}


/**
 * Your Skiplist object will be instantiated and called as such:
 * Skiplist* obj = new Skiplist();
 * bool param_1 = obj->search(target);
 * obj->add(num);
 * bool param_3 = obj->erase(num);
 */
//int main()
//{
//    Skiplist sl;
//    int max = 0;
//    for (size_t i = 0; i < 1000000000; i++)
//    {
//        int r = sl.RandomLevel();
//        if (max < r)
//        {
//            max = r;
//        }
//    }
//    cout << max << endl;
//    
//	return 0;
//}

在力扣上是可以通过测试用例的。

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