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- 第一门课:神经网络和深度学习 (Neural Networks and Deep Learning)
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- 第二周:神经网络的编程基础 (Basics of Neural Network programming)
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- [2.5 导数(Derivatives)](#2.5 导数(Derivatives))
第一门课:神经网络和深度学习 (Neural Networks and Deep Learning)
第二周:神经网络的编程基础 (Basics of Neural Network programming)
2.5 导数(Derivatives)
这个视频我主要是想帮你获得对微积分和导数直观的理解。或许你认为自从大学毕以后你再也没有接触微积分。这取决于你什么时候毕业,也许有一段时间了,如果你顾虑这点,请不要担心。为了高效应用神经网络和深度学习,你并不需要非常深入理解微积分。因此如果你观看这个视频或者以后的视频时心想:"哇哦,这些知识、这些运算对我来说很复杂。"我给你的建议是:坚持学习视频,最好下课后做作业,成功的完成编程作业,然后你就可以使用深度学习了。在第四周之后的学习中,你会看到定义的很多种类的函数,通过微积分他们能够帮助你把所有的知识结合起来,其中有的叫做前向函数和反向函数,因此你不需要了解所有你使用的那些微积分中的函数。所以你不用担心他们,除此之外在对深度学习的尝试中,这周我们要进一步深入了解微积分的细节。所有你只需要直观地认识微积分,用来构建和成功的应用这些算法。最后,如果你是精通微积分的那一小部分人群,你对微积分非常熟悉,你可以跳过这部分视频。其他同学让我们开始深入学习导数。
一个函数𝑓(𝑎) = 3𝑎,它是一条直线。下面我们来简单理解下导数。让我们看看函数中几个点,假定𝑎 = 2,那么𝑓(𝑎)是𝑎的 3 倍等于 6,也就是说如果𝑎 = 2,那么函数𝑓(𝑎) = 6。假定稍微改变一点点𝑎的值,只增加一点,变为 2.001,这时𝑎将向右做微小的移动。0.001 的差别实在是太小了,不能在图中显示出来,我们把它右移一点,现在𝑓(𝑎)等于𝑎的 3 倍是 6.003,画在图里,比例不太符合。请看绿色高亮部分的这个小三角形,如果向右移动 0.001,那么𝑓(𝑎)增加 0.003,𝑓(𝑎)的值增加 3 倍于右移的𝑎,因此我们说函数𝑓(𝑎)在𝑎 = 2,.是这个导数的斜率,或者说,当𝑎 = 2时,斜率是 3。导数这个概念意味着斜率,导数听起来是一个很可怕、很令人惊恐的词,但是斜率以一种很友好的方式来描述导数这个概念。所以提到导数,我们把它当作函数的斜率就好了。更正式的斜率定义为在上图这个绿色的小三角形中,高除以宽。即斜率等于 0.003 除以 0.001,等于 3。或者说导数等于 3,这表示当你将𝑎右移 0.001,𝑓(𝑎)的值增加 3 倍水平方向的量。
现在让我们从不同的角度理解这个函数。假设𝑎 = 5 ,此时𝑓(𝑎) = 3𝑎 = 15。把𝑎右移一个很小的幅度,增加到 5.001,𝑓(𝑎) = 15.003。 即在𝑎 = 5 时,斜率是 3,这就是表示,当微小改变变量𝑎的值,𝑑𝑓(𝑎)/𝑑𝑎= 3 。一个等价的导数表达式可以这样写 𝑑𝑓(𝑎) /𝑑𝑎,不管你是否将𝑓(𝑎)放在上面或者放在右边都没有关系。
在这个视频中,我讲解导数讨论的情况是我们将𝑎偏移 0.001,如果你想知道导数的数学定义,导数是你右移很小的𝑎值(不是 0.001,而是一个非常非常小的值)。通常导数的定义是你右移𝑎(可度量的值)一个无限小的值,𝑓(𝑎)增加 3 倍(增加了一个非常非常小的值)。也就是这个三角形右边的高度。
那就是导数的正式定义。但是为了直观的认识,我们将探讨右移𝑎 = 0.001 这个值,即使 0.001 并不是无穷小的可测数据。导数的一个特性是:这个函数任何地方的斜率总是等于3,不管𝑎 = 2或 𝑎 = 5,这个函数的斜率总等于 3,也就是说不管𝑎的值如何变化,如果你增加 0.001,𝑓(𝑎)的值就增加 3 倍。这个函数在所有地方的斜率都相等。一种证明方式是无论你将小三角形画在哪里,它的高除以宽总是 3。
我希望带给你一种感觉:什么是斜率?什么是导函数?对于一条直线,在例子中函数的斜率,在任何地方都是 3。在下一个视频让我们看一个更复杂的例子,这个例子中函数在不同点的斜率是可变的。