动态规划，二维DP

文章目录

1、摆花
2、异或选数
3、数字三角形

1、摆花

分析：

输入2 4 3 2 的情况下，只有 (2,2) , (3,1) 这两种方案。

所以，设置状态 dp $i$ $j$ 表示到第 i 种花（共 n 种花）、第 j 个位置（共 m 个位置）的情况下的总方案数。

k 表示第 i 种花使用的数量，a $i$ 表示第 i 种花本来的数量。

示例代码：

c 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const ll p = 1e6+7 , N = 1e3+5;
ll a[N],dp[N][N]; 
int n,m; 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=m;j++){
			for(int k=0;k<=a[i]&&k<=j;k++)// k<=j 避免花数过多，超过了j（余下的位置）
				dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j-k])%p;
		}
	}
	cout<<dp[n][m];
	return 0;
}

2、异或选数

分析：

有多少个子序列进行异或可以得到x。

设状态 dp $i$ $j$ 表示到第 i 个数字（共n个）、异或和为 j 的子序列的个数。

对于每次的状态有选择这个数和不选择这两种情况。

dp $i$ $j$ = dp $i-1$ $j$ + dp $i-1$ $j\^a\[i$ ]

代码示例：

c 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+5,p = 998244353;
int a[N],dp[N][70],n,x; 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	cin>>n>>x;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<64;j++){//a[i]<=63，所以异或结果肯定不会大于64
			dp[i][j]=(dp[i-1][j]+dp[i-1][j^a[i]])%p;
		}
	}
	cout<<dp[n][x];

	return 0;
}

3、数字三角形

分析：

设置 dp $i$ $j$ $k$ 表示从（i，j）出发一共进行了 k 次右移,n-i-k次左移。

dp $i$ $j$ $k$ = a $i$ $j$ + max(dp $i+1$ $j$ $k$ ,dp $i+1$ $j+1$ $k-1$ )

代码示例：

c 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e2+5;
int a[N][N],dp[N][N][N];
int n;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			cin>>a[i][j];
	for(int i=n;i>=1;i--){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			for(int k=0;k<=n-i;k++){
				if(k>=1)dp[i][j][k]=a[i][j]+max(dp[i+1][j][k],dp[i+1][j+1][k-1]);
				else dp[i][j][k]=a[i][j]+dp[i+1][j][k];
			}
		}
	}
	if(n&1)cout<<dp[1][1][(n-1)/2];
	else cout<<max(dp[1][1][(n-1)/2],dp[1][1][n-1-(n-1)/2]);	
	return 0;
}

DFS暴力解决，只能过50%，oi赛制的蓝桥杯还是能骗分的，如果用dp的话，可能根本就想不到

c 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3+5;
int a[N][N],note[N];
int n;
int maxsum;
void dfs(int x,int left,int right){
	if(x==n){
		if(abs(left-right)>1)return;
		note[x]=a[x][1+right];// 第 x 个 
		int sum=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)sum+=note[i]; 
		if(sum>maxsum)maxsum=sum;
		return;
	}
	note[x]=a[x][right+1];// 第x行，第right+1个 
	dfs(x+1,left+1,right);// 向下移动 left+1 
	dfs(x+1,left,right+1);// 向左移动 right+1 
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			cin>>a[i][j];
	dfs(1,0,0);
	cout<<maxsum;		
	return 0;
}