蓝桥杯每日一题：最大公约数（欧拉函数）

Wei&Yan2024-04-11 19:49

给定两个正整数 a,m，其中 a<m。

请你计算，有多少个小于 m 的非负整数 x 满足：

gcd(a,m)=gcd(a+x,m)

输入格式

第一行包含整数 T，表示共有 T 组测试数据。

每组数据占一行，包含两个整数 a,m。

输出格式

每组数据输出一行结果，一个整数，表示满足条件的非负整数 x 的个数。

数据范围

前三个测试点满足，1≤T≤10。

所有测试点满足，1≤T≤50，1≤a<m≤1010。

输入样例：

3
4 9
5 10
42 9999999967

输出样例：

6
1
9999999966

解题思路：

gcd（a,m）== gcd(a+x,m) = d;

由于d为最大公约数所哟 a /= d,x/=d,m/=d后: a+x 与m互质（且x<m）可以转换为a~a+m-1中与m互质的个数。用数轴表述：

(m~a+m-1) % m == (0~a-1) % m;

问题转换为0-m-1中与m互质的个数，又因为0，m-1都与m不互质所以相当于去m的欧拉函数。

欧拉函数：

参考代码：

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
LL T,a,m;

LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b ? gcd(b,a % b) : a;
}

LL ula(LL n)
{
    LL ans = n;
    for(int i=2;i<=n/i;i++)
        if(n%i==0)
        {
            ans = ans / i * (i-1);
            while(n%i==0) n/=i;
        }
        
    if(n>1) ans = ans / n * (n-1);
    return ans;
}

int main()
{
    cin>>T;
    while(T -- )
    {
        cin>>a>>m;
        
        m /= gcd(a,m);
        
        cout<<ula(m)<<endl;    
    }
    return 0;
}