【数学建模】2024认证杯C题完整思路和代码论文解析

经过不懈的努力，2024认证杯数学建模C题的完整论文和代码已完成，代码为A题全部4问的代码，论文包括摘要、问题重述、问题分析、模型假设、符号说明、模型的建立和求解（问题1模型的建立与求解、问题2模型的建立与求解、问题3模型的建立与求解、问题4模型的建立与求解）、模型的评价等等

下面是独家分析：

这个题目涉及到全球气候变化和地球工程技术,需要建立一个综合性的模型来分析相关的影响。我会从以下几个方面进行分析:

1. 问题的背景分析
1. 模型的假设和参数选择
1. 模型的建立与求解
1. 结果分析与讨论

（分析过程略，见文末完整版）

模型的建立与求解

问题一模型的建立与求解

问题1:在海面上空以及低层海云内喷洒雾化的海水是否确实可以起到降低海面接收到的日光辐射量的效应?这个效应的强弱与哪些参数有关?

分析: 这个问题涉及到海水喷洒后形成的海盐气溶胶对太阳辐射传输过程的影响。海盐气溶胶可以通过散射和吸收作用,改变太阳辐射在大气中的吸收、散射和反射过程,进而改变最终到达海面的辐射通量。

具体而言,海水喷洒后,会在海面上空以及低层海云内形成大量的海盐颗粒,这些颗粒粒径一般在0.1-10微米之间,具有较强的散射特性。这些海盐气溶胶颗粒会吸收和散射部分进入大气的太阳辐射,减少最终到达海面的辐射通量。同时,这些颗粒也会作为云凝结核,促进云层的形成和发展,增加云层的反照率,进一步降低海面接收到的辐射。

因此,这种地球工程方案在原理上是可行的,能够起到降低海面接收日光辐射的效应。这个效应的强弱主要取决于以下几个关键参数:

海水喷洒量:喷洒量越大,形成的海盐颗粒浓度越高,散射和吸收作用越强,降低辐射通量的效果越明显。
喷洒区域:喷洒区域的气象条件(如风速、湿度、温度等)会影响海盐颗粒的分布和演化,从而影响最终的辐射效应。选择合适的喷洒区域很重要。
海盐颗粒的粒径分布:颗粒粒径越小,散射效率越高,对辐射的影响越大。需要合理控制喷洒后形成的颗粒尺度分布。
云层特性:海盐颗粒作为云凝结核后,会改变云层的光学厚度和反照率,进一步影响辐射通量。云层的微物理特性是关键因素。
太阳辐射的光谱特性:不同波长的太阳辐射被海盐颗粒吸收和散射的程度不同,需要考虑整个光谱范围内的辐射传输过程。

综上所述,在海面上空及低层海云内喷洒雾化海水确实可以降低海面接收的日光辐射,这个效应的强弱主要取决于上述5个关键参数。下面我们建立数学模型来定量描述这一过程。

分析:

当在海面上空及低层海云内喷洒雾化的海水时,可以通过以下几个方面来考虑其减少海面接收日光辐射量的效应:

海盐气溶胶的辐射特性:海盐作为一种天然气溶胶,其对太阳辐射有散射和吸收的作用。散射作用可以增加云层的反照率,从而减少海面接收的辐射量;吸收作用则会减弱进入海洋的辐射通量。这些效应的强弱与海盐粒子的浓度、粒子大小分布等参数有关。
海盐气溶胶对云的影响:海盐气溶胶作为云凝结核,可以增加云层中的云滴数量,进而增加云的反照率和寿命。这也会减少海面接收的辐射通量。云滴数量、云层高度和厚度等参数会影响这种效应的强弱。
海水喷雾的热量效应:海水喷雾会带入一定的热量进入大气,这可能会引发一些局部性的对流和云层变化,从而影响到海面辐射通量。

综合以上几个方面,我们可以建立一个数学模型来定量描述海盐气溶胶注入对海面日光辐射的影响。

我们可以建立一个耦合的辐射传输模型和云微物理模型来描述这一过程。

辐射传输模型:

采用两流近似理论,建立大气-海洋耦合的辐射传输方程组,描述太阳短波辐射在大气-海洋系统中的传播过程。
将海盐气溶胶的散射和吸收特性引入到方程中,通过气溶胶浓度、粒子半径分布等参数表征其辐射效应。
考虑云层的影响,将云的光学厚度、单散射albedo等参数引入方程组中。
通过求解该方程组,可以得到海面接收的净辐射通量 F_{net} 。
云微物理模型:
建立描述海盐气溶胶作为云凝结核的云滴谱演化方程,考虑气溶胶浓度、温湿度等参数对云滴谱的影响。
将云滴谱信息引入到辐射传输方程组中,计算云的光学性质,进而影响到海面接收的辐射通量。
还需考虑海水喷雾对局部热量效应的影响,通过热量守恒方程耦合到大气过程中。

综上,我们可以建立一个包含以下主要方程的数学模型:

通过求解以上方程组,我们可以得到海面接收的净辐射通量 F_{net} ,并可进一步估算温度降低的幅度。这就是我们建立的数学模型的主要框架。

2024认证杯C题问题1部分求解代码如下（不完整，完整见文末）

Matlab 复制代码

% 调用辐射传输模型计算海面净辐射通量
H_atm = 80e3; % 大气层厚度, m
tau_atm = 0.2; % 大气光学厚度
omega0 = 0.95; % 单散射albedo
g = 0.85; % 相函数展开系数

H_ocean = 50; % 海洋混合层深度, m
T_ocean = 293.15; % 海水温度, K

r_mode = 0.2e-6; % 气溶胶粒子模态半径, m
sigma_r = 2.0; % 对数正态分布标准差
N_a = 100e6; % 气溶胶浓度, #/m^3

theta_sun = 30 * pi/180; % 太阳天顶角, rad
F_0 = 1368; % 太阳常数, W/m^2

F_net = radiation_model(H_atm, tau_atm, omega0, g, H_ocean, T_ocean, r_mode, sigma_r, N_a, theta_sun, F_0);
fprintf('海面接收的净辐射通量为: %.2f W/m^2\n', F_net);
function F_net = radiation_model(H_atm, tau_atm, omega0, g, H_ocean, T_ocean, r_mode, sigma_r, N_a, theta_sun, F_0)
    % 离散化计算域
    N = 100; 
    z = linspace(0, H_atm, N+1); 
    dz = z(2) - z(1);
    
    % 计算气溶胶光学性质
    Q_sca = Qsca_mie(r_mode, 0.55e-6, 1.5, 1.33); % 散射效率因子
    Q_abs = Qabs_mie(r_mode, 0.55e-6, 1.5, 1.33); % 吸收效率因子
    sigma_sca = Q_sca * pi * r_mode^2; % 散射截面积
    sigma_abs = Q_abs * pi * r_mode^2; % 吸收截面积
    
    % 求解辐射传输方程
    I_up = zeros(N+1, 1); 
    I_down = zeros(N+1, 1);
    
    for i = N:-1:1
        tau = tau_atm * i/N;
        omega = omega0 * exp(-tau/tau_atm);
        P = legendre_p(g, cos(theta_sun)); % 相函数
        
        I_up(i) = (I_up(i+1) * exp(-dz/cos(theta_sun)) + ...
            (1-omega) * B(T_ocean) * (1 - exp(-dz/cos(theta_sun)))) / ...
            (1 - omega * P * exp(-2*dz/cos(theta_sun)));
        
        I_down(i) = (I_down(i+1) * exp(-dz/cos(theta_sun)) + ...
            omega * P * I_up(i) * exp(-dz/cos(theta_sun))) / ...
            (1 - omega * P * exp(-2*dz/cos(theta_sun)));
    end
    
    % 计算海面接收的净辐射通量
    F_net = I_down(1) - I_up(1);
end

问题二模型的建立与求解

问题2的分析和建模:

在完成了问题1中对喷洒雾化海水对海面辐射影响的基本分析和建模之后,我们可以进一步定量地估计如果实施此工程,海面接收到的日光辐射量能够降低多少。这是问题2的核心内容。

分析:

要定量估计海面辐射的降低幅度,关键在于准确地模拟气溶胶-云-辐射相互作用的整个过程。从问题1的分析中我们知道,海盐气溶胶的引入主要通过两个方面影响海面辐射:

气溶胶本身的散射和吸收效应:海盐气溶胶可以增加大气中的总散射和吸收,从而改变太阳短波辐射在大气层中的传播过程,减少最终到达海面的辐射。这一效应主要与气溶胶的浓度、粒子尺度分布等参数有关。
气溶胶作为云凝结核的作用:海盐气溶胶进入云层后,可以增加云滴数量,进而提高云的反照率和延长云的生命期,从而减少到达海面的辐射。这一效应与云微物理参数如云滴谱、云层厚度等有关。

为了定量评估这些效应,我们需要进一步完善和扩展前文中建立的辐射传输-云微物理耦合模型。主要包括以下几个方面:

在辐射传输方程中,更精确地描述气溶胶的光学特性,如考虑粒子尺度分布的影响。
将云微物理方程与辐射传输过程耦合,充分反映云的光学性质变化对辐射的影响。
引入海水喷雾对局部热量和水汽场的影响,进一步完善整个系统的热量和水分平衡。
根据实际情况设置合理的边界条件和初始条件,以期得到更加准确的结果。

数学模型:

基于上述分析,我们可以建立如下的数学模型 :

通过求解这个包含辐射传输、云微物理、热量水分平衡等过程的耦合模型,我们可以得到在某一"工程参数"确定的情况下,海面接收的净辐射通量 F_\text{net} 。

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