作者介绍：10年大厂数据\经营分析经验，现任大厂数据部门负责人。
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LeetCode解锁1000题: 打怪升级之旅
python数据分析可视化：企业实战案例
题目描述
给定一个整数数组 nums，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
输入格式
- nums：一个整数数组。
输出格式
- 返回整数，表示最大子数组的和。
示例
示例 1
输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
示例 2
输入: nums = [1]
输出: 1
方法一：动态规划
解题步骤
- 定义状态 ：
dp[i]表示以nums[i]结尾的最大子数组和。 - 状态转移 ：
dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])，意味着当前元素单独成数组或加入前面的数组。 - 初始化 ：
dp[0] = nums[0]，只有一个元素时最大和即为该元素。 - 遍历数组 ：根据状态转移方程更新
dp数组。 - 得到结果 ：返回
dp数组中的最大值，即为所求。
完整的规范代码
python
def maxSubArray(nums):
"""
动态规划解法求最大子数组和
:param nums: List[int], 输入的整数数组
:return: int, 最大子数组的和
"""
if not nums:
return 0
n = len(nums)
dp = nums[0]
max_sum = dp
for i in range(1, n):
dp = max(nums[i], dp + nums[i])
if dp > max_sum:
max_sum = dp
return max_sum
# 示例调用
print(maxSubArray([-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4])) # 输出: 6算法分析
- 时间复杂度 ：(O(n))，其中
n是数组nums的长度，我们只需要遍历一次数组。 - 空间复杂度 ：(O(1))，使用了常数空间存储
dp状态和结果。
方法二：分治法
解题步骤
- 分治思想：将数组分成左右两部分，分别求左右部分的最大子数组和，以及跨越中点的最大子数组和。
- 递归求解：递归地对左右两部分数组应用分治法，直到数组长度为1。
- 合并结果：最大子数组和可能在左侧、右侧或跨越中心，取这三者的最大值。
完整的规范代码
python
def maxSubArray(nums):
"""
分治法解决最大子数组和问题
:param nums: List[int], 输入的整数数组
:return: int, 最大子数组的和
"""
def maxSubArrayDivideAndConquer(l, r):
if l == r:
return nums[l]
mid = (l + r) // 2
left_max = maxSubArrayDivideAndConquer(l, mid)
right_max = maxSubArrayDivideAndConquer(mid + 1, r)
max_left_border_sum = nums[mid]
max_right_border_sum = nums[mid + 1]
tmp = 0
for i in range(mid, l - 1, -1):
tmp += nums[i]
if tmp > max_left_border_sum:
max_left_border_sum = tmp
tmp = 0
for i in range(mid + 1, r + 1):
tmp += nums[i]
if tmp > max_right_border_sum:
max_right_border_sum = tmp
return max(left_max, right_max, max_left_border_sum + max_right_border_sum)
return maxSubArrayDivideAndConquer(0, len(nums) - 1)
# 示例调用
print(maxSubArray([-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4])) # 输出: 6算法分析
- 时间复杂度：(O(n \log n))，递归的每层需要 (O(n)) 的时间合并结果，共有 (\log n) 层。
- 空间复杂度：(O(\log n))，递归栈的深度。
方法三：贪心算法
解题步骤
- 初始化变量 ：设置两个变量，
current_sum表示当前遍历到的子数组的和，max_sum用来存储遍历过程中遇到的最大子数组和。 - 遍历数组 ：对数组中的每个元素进行遍历，根据贪心策略更新
current_sum和max_sum。 - 更新当前和 ：如果
current_sum小于0，就重新设置current_sum为当前元素，否则就累加当前元素。 - 更新最大和 ：每步都取
current_sum和max_sum的较大值更新max_sum。
完整的规范代码
python
def maxSubArray(nums):
"""
使用贪心算法计算最大子数组和
:param nums: List[int], 输入的整数数组
:return: int, 最大子数组的和
"""
current_sum = max_sum = nums[0]
for num in nums[1:]:
current_sum = max(num, current_sum + num)
max_sum = max(max_sum, current_sum)
return max_sum
# 示例调用
print(maxSubArray([-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4])) # 输出: 6算法分析
- 时间复杂度 ：(O(n))，其中
n是数组nums的长度，因为我们只需遍历一次数组。 - 空间复杂度：(O(1))，使用了常数额外空间。
方法四：改进的动态规划（空间优化）
解题步骤
- 初始化变量 ：与标准动态规划方法相似，但只用一个变量来存储上一个状态的
dp值，从而减少空间使用。 - 遍历更新 ：遍历数组，根据
dp[i-1]更新dp[i]。 - 记录最大和：在遍历过程中持续更新最大子数组和。
完整的规范代码
python
def maxSubArray(nums):
"""
使用改进的动态规划算法（空间优化版本）求最大子数组和
:param nums: List[int], 输入的整数数组
:return: int, 最大子数组的和
"""
n = len(nums)
current = max_sum = nums[0]
for i in range(1, n):
current = max(nums[i], current + nums[i])
max_sum = max(max_sum, current)
return max_sum
# 示例调用
print(maxSubArray([-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4])) # 输出: 6算法分析
- 时间复杂度：(O(n))，只需遍历数组一次。
- 空间复杂度：(O(1))，不使用额外的空间除了几个必要变量。
方法五：分块累计法
解题步骤
- 分块累计：采用分块的方式累计子数组和，每当累计和小于0时重新开始计算。
- 遍历数组：在遍历过程中，对每个分块的和进行计算，并更新全局最大和。
完整的规范代码
python
def maxSubArray(nums):
"""
使用分块累计法求最大子数组和
:param nums: List[int], 输入的整数数组
:return: int, 最大子数组的和
"""
max_sum = nums[0]
current_sum = 0
for num in nums:
current_sum += num
if current_sum > max_sum:
max_sum = current_sum
if current_sum < 0:
current_sum = 0
return max_sum
# 示例调用
print(maxSubArray([-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4])) # 输出: 6算法分析
- 时间复杂度：(O(n))，遍历一次数组。
- 空间复杂度：(O(1))，仅使用固定空间。
不同算法的优劣势对比
| 特征 | 方法一: 动态规划 | 方法二: 贪心算法 | 方法三: 分治法 | 方法四: 改进动态规划 | 方法五: 分块累计法 |
|---|---|---|---|---|---|
| 时间复杂度 | (O(n)) | (O(n)) | (O(n log n)) | (O(n)) | (O(n)) |
| 空间复杂度 | (O(1)) | (O(1)) | (O(log n)) | (O(1)) | (O(1)) |
| 优势 | - 基本且直观 | - 实现简单 | - 适合并行处理 | - 空间高效 | - 直观易懂 |
| 劣势 | - 无显著劣势 | - 需要理解逻辑 | - 较慢 | - 与方法一类似 | - 与贪心相似 |
应用示例
金融分析 ：
在金螌数据分析中，最大子数组和可以用来确定股票的最优买卖时期，即找出股价变动中的最大盈利窗口。
信号处理 ：
在处理信号时，寻找最大子数组和可以用来检测一段时间内的最大信号强度，有助于从噪声中提取有用信号。