树的重心 题解

树的重心

题目描述

给定一颗树，树中包含 n 个结点（编号 1∼n）和 n−1 条无向边。请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个结点被称为树的重心。

输入格式

第一行包含整数 n，表示树的结点数。

接下来 n−1 行，每行包含两个整数 a 和 b，表示点 a 和点 b 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数 m，表示将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

数据规模与约定

1 ≤ n ≤ 1 0 5 1≤n≤10^5 1≤n≤105

样例输入

9
1 2
1 7
1 4
2 8
2 5
4 3
3 9
4 6

样例输出

4

思路

树的重心模板题。那么，怎么才能找到某个点(某个重心)，将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小呢？一颗树中，删除某个点后，剩余的各个连通块是该结点子结点所在的各个连通块 和该结点的父结点所在的连通块 。我们可以递归地求该结点的各个子节点所在的连通块大小，并用sum求和，那么父节点所在的连通块大小就是 n − s u m − 1 n-sum-1 n−sum−1 (-1是减去该结点)。至于无向边的存储，可以采用邻接表，将无向边转为两个有向边存储，即存储有向边 ( a , b ) (a,b) (a,b)和 ( b , a ) (b,a) (b,a)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 1e5 + 6;
const int maxm = 5e5 + 6;

struct edge
{
    int to; // to为边的指向
};

vector<edge> e[maxn]; // 存储以点i为起点的边

int n;
int _size[maxn];  // u结点的最大子树的结点数
int sum[maxn];    // 以u为根的子树的结点数
bool vis[maxn];   // 结点u是否访问过
int minNum[maxn]; // 删除u后，剩余各个连通块中结点数的最大值

int ans = INT_MAX; // 删除重心后，剩余各个联通块中结点数的最大值

int dfs(int u)
{
    vis[u] = true;    // 标记该点已被访问过
    int cur_size = 0; // u结点的最大子树的结点数
    int cur_sum = 1;  // 以u为根的子树的结点数，初始化时加上该结点本身(即+1)

    for (int i = 0; i < e[u].size(); i++) // 遍历所有以u为起点的边
    {
        int v = e[u][i].to; // v是u的邻接点
        if (vis[v])
            continue;
        int num = dfs(v);              // 递归，并将返回的子树的结点数存储在num中
        cur_size = max(cur_size, num); // 记录最大子树的结点树
        cur_sum += num;                // 累加各个子树的结点数
    }

    _size[u] = cur_size;
    sum[u] = cur_sum;
    minNum[u] = max(cur_size, n - cur_sum);

    ans = min(ans, minNum[u]);

    return cur_sum; // 返回以u为根的子树的结点数
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    cin >> n;
    int a, b;
    // 读入n-1条无向边，并用邻接表存储
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
    {
        cin >> a >> b;
        e[a].push_back({b});
        e[b].push_back({a});
    }
    dfs(1); // 可以以任意点为起点递归

    cout << ans << '\n';

    return 0;
}