01背包理论基础
【二维数组】
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1.确定dp数组以及下标的含义
- dp[i][j]的定义为：[0-i]之间的物品任取，放进容量为j的背包里
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2.确定递推公式
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分两种情况：
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放物品i:
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dp[i-1][j-wight[i]]+value[i]
- 当背包容量为j-weight[i]的时候不放物品i的最大价值
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不放物品i:
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dp[i-1][j]
- 当背包容量为j的时候不放物品i的最大价值
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综合两种情况考虑：
- dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
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3.确定dp数组如何初始化
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1.将dp[i][0]全部初始化为0
- 意思是当背包容量为0的时候，背包什么也放不了，因此总价值是0
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2.将dp[0][j]全部初始化为物品0的价值
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意思是当背包只放物品0的时候，总价值就只为物品0的价值
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注意：当物品0的重量大于背包容量的时候，应该将背包价值初始化为0（因为放不下）
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3.非零下标的初始化：
- 初始化成什么都可以，因为非零下标全是根据前面的数值推导出来的，所以初始化成什么都不影响结果
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4.确定遍历顺序
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两层for循环：
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第一层遍历物品：
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第二层遍历背包容量：
- 递推公式
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注意：对于二维数组实现的背包问题，其实先遍历物品还是先遍历背包容量都可以
- 因为我们当前数据总是由左上方和正上方的值推导出来的，只要确保左上方和正上方有值，遍历顺序就无所谓
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5.举例推导dp数组
- 手动推导一下答案，然后将数组打印出来，看看每个状态是否是按照我们的思路进行转移的
【一维数组】
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01背包理论基础（滚动数组）
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1.确定dp数组以及下标的含义
- dp[j]的定义为：容量为j的背包最大价值为dp[j]
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2.确定递推公式
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分两种情况：
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放物品i:
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dp[j-weight[i]]+value[i]
- 当背包容量为j-weight[i]的时候不放物品i的最大价值
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不放物品i:
-
dp[j]
- 当背包容量为j的时候不放物品i的最大价值
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综合两种情况考虑：
- dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])
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3.确定dp数组如何初始化
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dp[0]=0
- 意思是背包容量为0的时候，背包价值为0
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非零下标应该初始化为非负数里的最小值，因为我们需要不断地进行比较，取最大值更新
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4.确定遍历顺序
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两层for循环：
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第一层遍历物品：
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第二层遍历背包容量：
- 递推公式
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注意：因为一维数组每一层的数据是需要重复利用的，因此遍历顺序只能是倒序遍历
- 我们需要倒序来保证每个物品添加一次，因为需要保证每个物品只添加一次，所以必须先遍历物品，再遍历背包
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5.举例推导dp数组
- 手动推导一下答案，然后将数组打印出来，看看每个状态是否是按照我们的思路进行转移的
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LeetCode 416 分割等和子集
题目链接：416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）
【解题思路】
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可以把本题抽象成一个背包问题，每个数值就是价值和重量，我们装满[target]背包的价值=target就代表找到了
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1.确定dp数组以及下标的含义
- dp[j]的定义为：容量为j的背包最大价值为dp[j]
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2.确定递推公式
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dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i])
- 因为重量和价值都是nums[i]
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3.确定dp数组如何初始化
-
dp[0]=0
- 意思是背包容量为0的时候，背包价值为0
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非零下标应该初始化为非负数里的最小值，因为我们需要不断地进行比较，取最大值更新
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4.确定遍历顺序
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两层for循环：
-
第一层遍历物品：
-
第二层遍历背包容量：
- 递推公式
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注意：因为一维数组每一层的数据是需要重复利用的，因此遍历顺序只能是倒序遍历
- 我们需要倒序来保证每个物品添加一次，因为需要保证每个物品只添加一次，所以必须先遍历物品，再遍历背包
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5.举例推导dp数组
- 手动推导一下答案，然后将数组打印出来，看看每个状态是否是按照我们的思路进行转移的
【解题步骤】
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1.如果数组为空，或者数组长度为0，则return false
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2.新建一个sum变量，统计nums数组的总和
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3.如果总和为奇数，则不能平分，return false
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4.定义一个target，初始化为总数的一半
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5.定义一个dp数组，长度为target+1
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6.先遍历物品，i<nums.length时停止遍历
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再遍历背包，j>=nums[i]时停止遍历
- 运用递推公式更新dp[j]
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如果dp[target]=target，说明已经找到，无需再遍历，return true
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8.return dp[target] == target