文章目录
- [1. 概述](#1. 概述)
- [2. 原理](#2. 原理)
- [3. 实现](#3. 实现)
-
- [3.1 类结构设计](#3.1 类结构设计)
- [3.2 构造函数（初始化）析构函数（释放资源）](#3.2 构造函数（初始化）析构函数（释放资源）)
- [3.3 查找对应元素的代表元](#3.3 查找对应元素的代表元)
- [3.4 判断两个元素是否处于同一个集合](#3.4 判断两个元素是否处于同一个集合)
- [3.5 合并两个元素](#3.5 合并两个元素)
- [3.6 查看整体数据中的集合数](#3.6 查看整体数据中的集合数)
- [3.7 测试代码](#3.7 测试代码)
- [3.8 路径压缩](#3.8 路径压缩)
- [4. 应用](#4. 应用)
1. 概述
故事引入：
话说在江湖中散落着各式各样的大侠，他们怀揣着各自的理想和信仰在江湖中奔波。或是追求武林至尊，或是远离红尘，或是居庙堂之高，或是处江湖之远。尽管大多数人都安分地在做自己，但总有些人会因为彼此的信仰不同而聚众斗殴。因此，江湖上常年乱作一团，纷纷扰扰。
这样长期的混战，难免会打错人，说不定一刀就把拥有和自己相同信仰的队友给杀了。这该如何是好呢？于是，那些有着相同信仰的人们便聚在一起，进而形成了各种各样的门派，比如我们所熟知的"华山派"、"峨嵋派"、",崆峒派"、"少林寺"、"明教"......这样一来，那些有着相同信仰的人们便聚在一起成为了朋友。以后再遇到要打架的事时，就不会打错人了。
但是新的问题又来了，原本互不相识的两个人如何辨别是否共属同一门派呢?
这好办！我们可以先在门派中选举一个"大哥"作为话事人（也就是掌门人，或称教主等）。这样一来，每当要打架的时候，决斗双方先自报家门，说出自己所在门派的教主名称，如果名称相同，就说明是自己人，就不必自相残杀了，否则才能进行决斗。于是，教主下令将整个门派划分为三六九等，使得整个门派内部形成一个严格的等级制度（即树形结构）。教主就是根节点，下面分别是二级、三级、......、N级队员。每个人只需要记住自己的上级名称，以后遇到需要辨别敌友的情况时，只需要一层层往上询问（网上询问）就能知道是否是同道中人了。
数据结构的角度来看：
由于我们的重点是在关注两个人是否连通，因此他们具体是如何连通的，内部结构是怎样的，甚至根节点是哪个（即教主是谁），都不重要。所以并查集在初始化时，教主可以随意选择（就不必再搞什么武林大会了），只要能分清敌友关系就行。
备注：上面所说的"教主"在教材中被称为"代表元"。即：用集合中的某个元素来代表这个集合，则该元素称为此集合的代表元。用树形结构的术语来说的话，就是这棵树的根
总结：在实际的应用场景中，我们经常会遇到一些问题，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合，然后按照一定的规律将有一些相同共性的集合进行合并（并），需要一些操作快速的查找某些元素是否在同一个集合（查），为了能够高效的实现这些操作，设计出了一种数据结构叫做并查集（Union Find Set）
2. 原理
对于上述的需求，我们设计出了并查集这个数据结构，但是实际上可以给这个数据结构进行一些优化的设置
我们将使用数组作为底层结构来存放数据，假设一共有n个元素，那么就创建n个元素的数组，首先我们将所有下标对应的值设置为-1，表示他们单独成为一个集合（门派）对于属于同一集合的元素，在其对应位置存放他的上级的下标，以此类推
按照上面的场景，我们将有以下的需求：
- 判断两个元素是否处于同一集合
- 合并两个元素所在的集合
- 判断整体有多少个集合
- 查找对应元素的代表元
3. 实现
3.1 类结构设计
cpp
class UnionFindSet
{
private:
vector<int> _ufs; // 成员变量使用一个数组即可
public:
UnionFindSet(); // 构造函数
~UnionFindSet(); // 析构函数
bool IsSameSet(int x, int y); // 判断是否处于同一个集合
void Union(int x, int y); // 合并两个元素所在集合
size_t Count(); // 查看整体数据中的集合数
int FindRoot(int x); // 查找对应元素的代表元
};3.2 构造函数（初始化）析构函数（释放资源）
构造函数可以根据实际情况更改或者重载，这里只实现根据整体的元素个数来构造
cpp
UnionFindSet(int n) :_ufs(n, -1) {}
// 析构函数，不需要析构，vector会自动调用他的析构函数3.3 查找对应元素的代表元
我们知道对于属于同一集合的元素，在其对应位置存放他的上级的下标，代表元也就是说他本身没有上级（存放元素内容为-1），然后任何一个元素一直向上级查找，最终都能找到代表元
cpp
int FindRoot(int x) // 查找对应元素的代表元
{
int root = x;
while (_ufs[root] >= 0) // 循环查找，直到找到存放元素为负数的情况
{
root = _ufs[root]; // 找到当前位置的上级
}
return root;
}3.4 判断两个元素是否处于同一个集合
如果两个元素拥有同一个代表元，那么就证明他们属于同一个集合
cpp
bool IsSameSet(int x, int y) // 判断两个元素是否处于同一个集合
{
int root1 = FindRoot(x); // 分别查找两个元素的代表元
int root2 = FindRoot(y);
return root1 == root2;
}3.5 合并两个元素
要合并连个元素，不能够直接合并这两个元素，而是应该合并两个元素所在的两个集合，所以需要先找到对应集合的代表元，然后将其中一个集合的代表元设置为另一个集合的代表元的下级
cpp
void Union(int x, int y) // 合并两个元素所在集合
{
// 分别查找两个元素的代表元
int root1 = FindRoot(x);
int root2 = FindRoot(y);
if (root1 == root2) // 如果两个元素本来就属于同一个集合，就直接return
return;
// 这里假设root1为合并后的代表元，
// 1. 让root1存放的内容更改为整体
_ufs[root1] += _ufs[root2];
// 2. 更改root2内存放的值（root2现在是root1的下级）
_ufs[root2] = root1; // 所以要存放root1的下标
}3.6 查看整体数据中的集合数
根据我们的设计，所有的代表元存放的值都是负数，所以集合的个数 == 代表元的个数 == 值为负数的元素个数
cpp
size_t Count() // 查看整体数据中的集合数
{
size_t count = 0;
for (auto& e : _ufs)
{
if (e < 0)
count++;
}
return count;
}3.7 测试代码
cpp
// 这里是一个简单的测试，读者朋友们编写完代码后可以自行测试
void Test1()
{
UnionFindSet ufs(10);
cout << ufs.Count() << endl;
ufs.Union(0, 9);
ufs.Union(1, 8);
ufs.Union(2, 7);
ufs.Union(3, 6);
ufs.Union(4, 5);
ufs.Union(0, 1);
cout << ufs.Count() << endl;
cout << ufs.FindRoot(9) << endl;
cout << ufs.FindRoot(8) << endl;
cout << ufs.IsSameSet(8, 9) << endl;
cout << ufs.IsSameSet(5, 9) << endl;
}3.8 路径压缩
在一些对效率要求比较高的地方，我们可能会采取一些优化的方式，让查找的效率变得更高。经过分析可以发现，查找代表元的过程效率跟下级的个数（树的层数）有关，但是我们不关心同一个集合的上下级关系，所以可以让集合内除代表元之外的所有元素都是代表元的直接下级，这样查找的效率就变成了O（1），可是每一次都这样更新是比较复杂并且消耗时间资源的，所以没有必要单独更新，可以把更新的行为和查找放在一起
只要查找一次，就将查找路径上的所有结点都挂到根结点下面，如图,查找L的根结点A，查找一次过后，就将E、B、L全部挂到根结点A之下
cpp
int Find1(int x) // 路径压缩1
{
int root = x;
while (_ufs[root] >= 0) // 循环查找，直到找到存放元素为负数的情况
{
root = _ufs[root];
}
while (x != root) //x不为根结点，则压缩路径
{
int t = _ufs[x]; //t指向x的父节点
_ufs[x] = root; //x直接挂到根结点下
x = t;
}
return root;
}扩展：加权标记法优化
上面代码汇总
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
class UnionFindSet
{
private:
vector<int> _ufs; // 成员变量使用一个数组即可
public:
UnionFindSet(int n) :_ufs(n, -1) {}
// 析构函数，不需要析构，vector会自动调用他的析构函数
bool IsSameSet(int x, int y) // 判断两个元素是否处于同一个集合
{
int root1 = FindRoot(x); // 分别查找两个元素的代表元
int root2 = FindRoot(y);
return root1 == root2;
}
void Union(int x, int y) // 合并两个元素所在集合
{
// 分别查找两个元素的代表元
int root1 = FindRoot(x);
int root2 = FindRoot(y);
if (root1 == root2) // 如果两个元素本来就属于同一个集合，就直接return
return;
// 这里假设root1为合并后的代表元，
// 1. 让root1存放的内容更改为整体
_ufs[root1] += _ufs[root2];
// 2. 更改root2内存放的值（root2现在是root1的下级）
_ufs[root2] = root1; // 所以要存放root1的下标
}
size_t Count() // 查看整体数据中的集合数
{
size_t count = 0;
for (auto& e : _ufs)
{
if (e < 0)
count++;
}
return count;
}
int FindRoot(int x) // 查找对应元素的代表元
{
int root = x;
while (_ufs[root] >= 0) // 循环查找，直到找到存放元素为负数的情况
{
root = _ufs[root]; // 找到当前位置的上级
}
return root;
}
int Find1(int x) // 路径压缩1
{
int root = x;
while (_ufs[root] >= 0) // 循环查找，直到找到存放元素为负数的情况
{
root = _ufs[root];
}
while (x != root) //x不为根结点，则压缩路径
{
int t = _ufs[x]; //t指向x的父节点
_ufs[x] = root; //x直接挂到根结点下
x = t;
}
return root;
}
};
void Test1()
{
UnionFindSet ufs(10);
cout << ufs.Count() << endl;
ufs.Union(0, 9);
ufs.Union(1, 8);
ufs.Union(2, 7);
ufs.Union(3, 6);
ufs.Union(4, 5);
ufs.Union(0, 1);
cout << ufs.Count() << endl;
cout << ufs.FindRoot(9) << endl;
cout << ufs.FindRoot(8) << endl;
cout << ufs.IsSameSet(8, 9) << endl;
cout << ufs.IsSameSet(5, 9) << endl;
}
int main()
{
Test1();
return 0;
}4. 应用
下面是两个leetcode的题目，感兴趣的同学可以做一做，练习一下并查集的相关操作
本节完...