图论之最短路算法模板总结

来个大致的分类：

朴素的迪杰斯特拉：

实现：

我们让s表示当前已经确定的最短距离的点，我们找到一个不在s中的距离最近的点t，并用t来更新其他的点。

下面是AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//求1---n的最短路（用邻接矩阵存储）
const int N=510;
int n,m;
int g[N][N];
int dis[N];
bool st[N];
int dij()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[1]=0;
    for(int i=0;i<n;i++)//一共n次
    {
        int t=-1;
        //找最近的点
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(!st[j]&&(t==-1||dis[t]>dis[j])) t=j;
        }
        st[t]=1;
        //更新
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            dis[j]=min(dis[j],dis[t]+g[t][j]);
        }
        
    }
    if(dis[n]==1e8) return -1;
    return dis[n];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i==j) g[i][j]=0;
            else g[i][j]=1e8;
        }
    }
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        g[a][b]=min(g[a][b],c);
    }
    cout<<dij();
}

堆优化的迪杰斯特拉：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100100;
int n,m;
int h[N],w[N],e[N],ne[N],id;
int dis[N];
bool st[N];
typedef pair<int,int> pii;
void add(int a,int b,int c)
{
    e[id]=b,w[id]=c,ne[id]=h[a],h[a]=id++;
}
int dij()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[1]=0;
    priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii>> heap;
    heap.push({0,1});
    
    while(!heap.empty())
    {
        auto t=heap.top();
        heap.pop();
        int ver=t.second,dist=t.first;
        if(st[ver]) continue;
        st[ver]=1;
        for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dis[j]>dist+w[i])
            {
                dis[j]=dist+w[i];
                heap.push({dis[j],j});
            }
        }
    }
    if(dis[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
    return dis[n];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
    }
    cout<<dij();
}

Bellman-Ford算法：

实现：循环n次，每一次循环所有边并更新。

注意：有负权的可能没有最短路，我们最外面循环了k次，他的含义是最多经过k条边的最短路，因此若循环超过该次数说明有环，这样子就是有负环了，但是有负环不一定说明答案不存在比方说一个与答案路径无关的负环，因此一般无法用该算法判断。

下面是AC代码（只可以走k条边）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=510,M=100010;
int n,m,k,f;
int dis[N],backup[N];
struct node
{
    int a,b,w;
    
}edge[M];
int bel()
{
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[1]=0;
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        memcpy(backup,dis,sizeof(dis));//防止更新时用同一回的更新
        for(int j=0;j<m;j++)
        {
            int a=edge[j].a,b=edge[j].b,w=edge[j].w;
            dis[b]=min(dis[b],backup[a]+w);
        }
    }
    if(dis[n]>0x3f3f3f3f/2){
        f=1;
        return -1;
    } 
    //有负权边
    return dis[n];
}
int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b,w;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        edge[i]={a,b,w};
    }
    int t=bel();
    if(t==-1&&f) cout<<"impossible";
    else cout<<t;
}

SPFA算法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100100;
int n,m;
int h[N],w[N],e[N],ne[N],id;
int dis[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c)
{
    e[id]=b,w[id]=c,ne[id]=h[a],h[a]=id++;
}
int spfa()
{   memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    dis[1]=0;
    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1]=1;
    while(q.size())
    {
        int t=q.front();
        q.pop();
        st[t]=0;
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dis[j]>dis[t]+w[i])
            {
                dis[j]=dis[t]+w[i];
                if(!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j]=1;
                }
            }
        }
    }
    if(dis[n]==0x3f3f3f3f) return -1;
    return dis[n];
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
    }
    int t=spfa();
    if(t==-1) cout<<"impossible";
    else cout<<t;
}

SPFA求负环：

同时维护cnt[x]表示当前最短路的边数，我们cnt[x]=cnt[t]+1，若有cnt[x]>=n，说明有了负环。

下面是AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100100;
int n,m;
int h[N],w[N],e[N],ne[N],id;
int dis[N],cnt[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c)
{
    e[id]=b,w[id]=c,ne[id]=h[a],h[a]=id++;
}
int spfa()
{   
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        st[i]=1;
        q.push(i);
    }//相当于一个超级源点
    while(q.size())
    {
        int t=q.front();
        q.pop();
        st[t]=0;
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dis[j]>dis[t]+w[i])
            {
                dis[j]=dis[t]+w[i];
                cnt[j]=cnt[t]+1;
                if(cnt[j]>=n) return 1;
                if(!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j]=1;
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    while(m--)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
    }
    int t=spfa();
    if(t==1) cout<<"Yes";
    else cout<<"No";
}

Floyd算法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 210, INF = 1e9;
int n, m, q;
int d[N][N];
void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;
    while (m -- )
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        d[a][b] = min(d[a][b], c);
    }

    floyd();
    while (q -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);

        int t = d[a][b];
        if (t > INF / 2) puts("impossible");
        else printf("%d\n", t);
    }
}