题目描述
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
题目分析
递归法(超出时间限制)
- 递归参数与返回值
void reversal(int i, int k)
每次我们处理第i个台阶到第k个台阶之间的可能性。这里我把结果int cnt
放在类成员中了,所以直接在函数中进行处理,不用返回。 - 递归终止条件
当我们处理到最上面的台阶了,也就是reversal(n, n)
就可以结束当前递归。 - 单层递归逻辑
单层递归中,我们再将区间(i, k)
细分下去:因为我们每次只能上一级或两级台阶 ,并且上了台阶之后才能处理更高层的范围,所以在缩小范围时,我们针对的是区间的左边。也就是:
cpp
for(int j = 1; j <= (k-i) && j <=2; j++){
reversal(i+j, k);
}
其中,j
就是我们上台阶的可能性,它的取值要小于等于2 且不能超过区间的大小。
最终的cpp递归代码:
cpp
class Solution {
private:
int cnt;
public:
void reversal(int i, int k){ // 在第i个台阶到第k个台阶之间做决策
// 递归终止条件:已经到最上面的台阶,cnt加一并返回
if(i == k){
cnt++;
return;
}
// 单层递归:从第i个台阶到第k个台阶的可能性
// j在这里代表是上几个台阶
for(int j = 1; j <= (k-i) && j <=2; j++){
reversal(i+j, k);
}
}
int climbStairs(int n) {
cnt = 0;
reversal(0, n);
return cnt;
}
};
动态规划
-
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]
:爬到第i
级台阶的方法数量。 -
确定递推公式
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
因为我们只有两种上楼梯的方法,也即上一级台阶或两级台阶。试想:
- 我们上到第
i-1
级台阶时,共有d[i-1]
种方法,再上一级则到达第i
级台阶; - 我们上到第
i-2
级台阶时,共有d[i-2]
种方法,再上两级则到达第i
级台阶;
上到第i
级台阶也就两种情况,从第i-1
级台阶再上一级,或是从第i-2
级台阶再上两级,那么我们上到第i
级台阶的方法不就是 dp[i-1] + dp[i-2]
。这也说明了每一级台阶的状态是由前面两级台阶决定的。
- dp数组初始化
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
因为第0级台阶不存在,所以我们不必纠结dp[0]
的值到底如何初始化。
-
确定遍历顺序
因为
dp[i]
是由它的前两个数决定,所以我们只能从前往后去遍历。 -
举例推导dp数组
例如当
n=5
:dp[1]=1;
dp[2]=2;
dp[3] = dp[2] + dp[1] = 3;
dp[4] = dp[3] + dp[2] = 5;
dp[5] = dp[4] + dp[3] = 8;
动态规划的cpp代码:
cpp
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if(n < 3) return n;
// 确定dp数组以及下标含义
vector<int> dp(n+1); //dp[i]是到达第i阶楼梯的方法总数
// 初始化
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
// 推导
for(int i = 3; i <= n; i++){
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
};