前言
关于傅里叶级数对于时域和频域的转换这里不过多赘述：[信号与系统]有关时域信号与频域信号的转换
连续信号到离散信号的转换
将连续时域信号 x ( t ) x(t) x(t) 转换为离散时域信号 x [ n ] x[n] x[n] 的数学推导过程如下：
1. 采样定理
采样定理指出，如果一个信号的最高频率不超过 1 2 T s \frac{1}{2T_s} 2Ts1（即奈奎斯特频率），则可以通过每隔 T s T_s Ts 进行一次采样来完全重建该信号。这个过程可以表示为：
x [ n ] = x ( n T s ) x[n] = x(nT_s) x[n]=x(nTs)
其中 T s T_s Ts 是采样间隔， n n n 是一个整数。
2. 采样点的选择
为了将连续信号 x ( t ) x(t) x(t) 转换为离散信号 x [ n ] x[n] x[n]，我们需要在等间隔的时间点 t n t_n tn 处对 x ( t ) x(t) x(t) 进行采样。时间点 t n t_n tn 可以表示为：
t n = n T s t_n = nT_s tn=nTs
其中 n n n 为整数。
3. 离散信号的表达式
通过在这些时间点上采样，离散信号 x [ n ] x[n] x[n] 表示为：
x [ n ] = x ( n T s ) x[n] = x(nT_s) x[n]=x(nTs)
4. 数学推导
假设我们有一个连续信号 x ( t ) x(t) x(t)，我们想要将其采样得到离散信号 x [ n ] x[n] x[n]。
-
定义连续信号：
设连续信号 x ( t ) x(t) x(t) 表示为：
x ( t ) x(t) x(t) -
选择采样间隔 T s T_s Ts：
选择一个适当的采样间隔 T s T_s Ts，使得信号满足采样定理。
-
计算采样点：
采样点 t n t_n tn 可以表示为：
t n = n T s t_n = nT_s tn=nTs -
在采样点进行采样：
在采样点 t n t_n tn 处，对连续信号 x ( t ) x(t) x(t) 进行采样，得到离散信号 x [ n ] x[n] x[n]：
x [ n ] = x ( n T s ) x[n] = x(nT_s) x[n]=x(nTs)
5. 采样和重构
采样过程
采样是将连续时间信号 x ( t ) x(t) x(t) 在离散时间点 t = n T s t = nT_s t=nTs 处进行取样的过程。其数学表达式为：
x [ n ] = x ( n T s ) x[n] = x(nT_s) x[n]=x(nTs)
其中 n n n 为整数，表示采样点的索引。
重构过程
假设我们有一个离散时间信号 x [ n ] x[n] x[n]，我们可以通过插值方法重构原始的连续时间信号 x ( t ) x(t) x(t)。最常用的重构方法是使用理想的低通滤波器进行重构，其表达式为：
x ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] ⋅ sinc ( t − n T s T s ) x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot \text{sinc}\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right) x(t)=n=−∞∑∞x[n]⋅sinc(Tst−nTs)
其中 sinc ( x ) \text{sinc}(x) sinc(x) 是 sinc 函数，定义为：
sinc ( x ) = sin ( π x ) π x \text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} sinc(x)=πxsin(πx)
重构过程的基本原理是将离散的样本 x [ n ] x[n] x[n] 进行加权叠加，其中权重是 sinc \text{sinc} sinc 函数的取值。这个过程在理论上可以完全重建原始的连续时间信号 x ( t ) x(t) x(t)，前提是信号满足采样定理的条件。
示例
假设我们有一个频率为 1 Hz 的正弦波信号 x ( t ) = sin ( 2 π t ) x(t) = \sin(2\pi t) x(t)=sin(2πt)，采样间隔 T s T_s Ts 为 0.1 秒。我们可以通过以下步骤进行采样和重构：
- 计算采样点：
t n = n T s = 0.1 n t_n = nT_s = 0.1n tn=nTs=0.1n - 在采样点进行采样：
x [ n ] = sin ( 2 π ⋅ 0.1 n ) x[n] = \sin(2\pi \cdot 0.1n) x[n]=sin(2π⋅0.1n)
离散信号 x [ n ] x[n] x[n] 表示为：
x [ n ] = sin ( 0.2 π n ) x[n] = \sin(0.2\pi n) x[n]=sin(0.2πn)
重构信号 x ( t ) x(t) x(t) 表示为：
x ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ sin ( 0.2 π n ) ⋅ sinc ( t − 0.1 n 0.1 ) x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \sin(0.2\pi n) \cdot \text{sinc}\left(\frac{t - 0.1n}{0.1}\right) x(t)=n=−∞∑∞sin(0.2πn)⋅sinc(0.1t−0.1n)
通过这个过程，我们可以看到如何将连续时域信号转换为离散时域信号，并且在理论上可以通过重构过程完全恢复原始的连续时域信号。