原题链接🔗 :二叉树的最近公共祖先
难度:中等⭐️⭐️
题目
给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。
百度百科中最近公共祖先的定义为:"对于有根树 T 的两个节点 p、q,最近公共祖先表示为一个节点 x,满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大(一个节点也可以是它自己的祖先)。"
示例 1:
输入:root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1
输出:3
解释:节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3 。
示例 2:
输入:root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4
输出:5
解释:节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5 。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。
示例 3:
输入:root = [1,2], p = 1, q = 2
输出:1
提示:
- 树中节点数目在范围 [2, 10^5^] 内。
- -10^9^ <= Node.val <= 10^9^
- 所有 Node.val 互不相同 。
- p != q
- p 和 q 均存在于给定的二叉树中。
二叉树最近公共祖先
在二叉树中找到两个节点的最近公共祖先(Lowest Common Ancestor,
LCA)是一个常见的算法问题。最近公共祖先是指在二叉树中,能够同时包含两个给定节点的最低(即最深的)节点。以下是解决这个问题的一般步骤和考虑因素:
理解问题:你需要找到两个给定节点在二叉树中的LCA。
递归方法:递归是解决这个问题的常用方法。你可以从根节点开始,递归地搜索两个节点。
基本情况:
- 如果当前节点为空,返回空。
- 如果当前节点等于其中一个给定节点,返回当前节点。
递归搜索:
- 在当前节点的左子树和右子树中递归地搜索两个节点。
合并结果:
- 如果在左子树中找到了一个节点,在右子树中也找到了另一个节点,那么当前节点就是LCA。
- 如果只在左子树或右子树中找到了一个节点,那么LCA就是这个子树中的节点。
- 如果两个子树都为空,那么当前节点不是LCA的一部分。
实现:使用递归函数实现上述逻辑。
测试:确保你的解决方案可以处理各种情况,包括但不限于:
- 二叉树只有一个节点。
- 两个节点在不同的分支上。
- 两个节点在相同的分支上。
- 两个节点中的一个或两个都是根节点。
优化:考虑算法的时间复杂度和空间复杂度。递归方法的时间复杂度通常是O(N),其中N是树中节点的数量,空间复杂度取决于树的高度,最坏情况下是O(N)。
题解
- 解题思路:
LeetCode 上的 "二叉树的最近公共祖先 III" 题目要求解决的是在二叉树中找到两个节点的最近公共祖先(LCA)。这个问题可以通过递归的方式来解决,下面是解题的一般思路:
定义问题:给定两个值,找到二叉树中包含这两个值的最近公共祖先。
理解二叉树:二叉树是一种特殊的树形数据结构,其中每个节点最多有两个子节点。
递归方法:
- 递归函数将接收当前节点和两个值作为参数。
- 如果当前节点为空,返回空。
- 检查当前节点是否等于两个值中的任意一个,如果是,返回当前节点。
- 递归地在左子树和右子树中查找这两个值。
处理递归结果:
- 如果左子树和右子树都为空,说明当前节点的子树中没有找到两个值,返回空。
- 如果左子树和右子树都非空,说明两个值分别在左右子树中,当前节点就是它们的LCA,返回当前节点。
- 如果只有一个子树非空,说明两个值都在一个子树中,继续在该子树中查找LCA
- c++ demo:
cpp
#include <iostream>
#include <vector>
struct TreeNode {
int val;
TreeNode* left;
TreeNode* right;
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
class Solution {
public:
TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
// 如果当前节点为空或者等于p或q,返回当前节点
if (!root || root == p || root == q) {
return root;
}
// 递归地在左子树和右子树中查找p和q
TreeNode* left = lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
TreeNode* right = lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
// 如果左右子树都为空,说明p和q都不在当前节点的子树中
if (!left && !right) {
return nullptr;
}
// 如果左右子树中只有一个为空,说明p和q都在非空的子树中
if (left && !right) {
return left;
}
if (!left && right) {
return right;
}
// 如果左右子树都不为空,说明p在一边,q在另一边,当前节点是它们的LCA
return root;
}
};
int main() {
// 构建示例二叉树
// 2
// / \
// 3 5
// / \ \
// 1 4 6
TreeNode* root = new TreeNode(2);
root->left = new TreeNode(3);
root->right = new TreeNode(5);
root->left->left = new TreeNode(1);
root->left->right = new TreeNode(4);
root->right->right = new TreeNode(6);
// 创建两个节点
TreeNode* p = root->left->left; // 值为1的节点
TreeNode* q = root->right->right; // 值为6的节点
// 创建Solution对象并调用函数
Solution solution;
TreeNode* lca = solution.lowestCommonAncestor(root, p, q);
// 打印结果
if (lca) {
std::cout << "LCA of " << p->val << " and " << q->val << " is " << lca->val << std::endl;
}
else {
std::cout << "No common ancestor found." << std::endl;
}
// 清理内存
delete root->left->left;
delete root->left->right;
delete root->right->right;
delete root->left;
delete root->right;
delete root;
return 0;
}
- 输出结果:
LCA of 1 and 6 is 2