力扣对应题目链接：188. 买卖股票的最佳时机 IV - 力扣（LeetCode）
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一、分析题目
1、状态表示
为了更加清晰的区分买入 和卖出，我们换成有股票和无股票两个状态。
- f[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 笔交易，此时处于有股票状态的最大收益。
- g[i][j] 表示：第 i 天结束后，完成了 j 笔交易，此时处于无股票状态的最大收益。
2、状态转移方程
对于 f**[i][j]** ，也有两种情况能在第 i 天结束之后，完成 j 笔交易，此时手里有股票的状态：
- 在 i-1 天的时候，手里有股票，并且交易了 j 次。在第 i 天的时候，啥也不干。此时的收益为 f[i - 1][j]。
- 在 i-1 天的时候，手里没有股票，并且交易了 j 次。在第 i 天的时候，买了股票。那么 i 天结束之后，就有股票了。此时的收益为 g[i - 1][j] - prices[i]。
上述两种情况，我们需要的是最大值，因此 f 的状态转移方程为：
f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]
对于 g**[i][j]** ，我们有下⾯两种情况能在第 i 天结束之后，完成 j 笔交易，此时手里没有股票的状态：
- 在 i-1 天的时候，手里没有股票，并且交易了 j 次。在第 i 天的时候，啥也不干。此时的收益为 g[i - 1][j]。
- 在 i-1 天的时候，手里有股票，并且交易了 j - 1 次。在第 i 天的时候，把股票卖了。那么 i 天结束之后，我们就交易了 j 次。此时的收益为f[i - 1][j - 1] + prices[i]。
上述两种情况，我们需要的是最大值，因此 g 的状态转移方程为：
g[i][j] = max(g[i - 1][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i])
它们之间交易关系如下：
3、初始化
由于需要用到 i=0 时的状态，因此我们初始化第一行即可。
- 当处于第 0 天的时候，只能处于买入过⼀次的状态，此时的收益为 -prices[0] ，因此 f[0][0] = - prices[0] 。
- 为了取 max 的时候，⼀些不存在的状态起不到干扰的作⽤，我们统统将它们初始化为 -INF（用 INT_MIN 在计算过程中会有溢出的风险，这⾥ INF 折半取 0x3f3f3f3f ，足够小即可）。
4、填表顺序
从上往下填每一行，每一行从左往右，两个表⼀起填。
5、返回值
返回处于卖出状态的最大值，但是我们也不知道是交易了几次，因此返回 g 表最后一行的最大值。
6、优化
我们的交易次数是不会超过整个天数的一半的，因此我们可以先把 k 处理一下，优化一下问题的规模：k = min(k, n / 2)。
二、代码
cpp
//力扣
//【动态规划-二维dp-2个状态】
class Solution {
//f[i][j]:第i天结束后，完成了j次交易，此时处于"买入"状态下的最大利润
//g[i][j]:第i天结束后，完成了j次交易，此时处于"卖出"状态下的最大利润
private:
const int INF=0x3f3f3f3f;
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
int n=prices.size();
k=min(k, n/2); //优化:处理最多交易次数
vector<vector<int>> f(n, vector<int>(k+1, -INF));
vector<vector<int>> g(n, vector<int>(k+1, -INF));
f[0][0]=-prices[0], g[0][0]=0;
for(int i=1; i<n; i++)
{
for(int j=0; j<=k; j++)
{
f[i][j]=max(f[i-1][j], g[i-1][j]-prices[i]);
g[i][j]=g[i-1][j];
if(j>=1) g[i][j]=max(g[i][j], f[i-1][j-1]+prices[i]);
}
}
int res=0;
for(int j=0; j<=k; j++)
res=max(res, g[n-1][j]);
return res;
}
};
//【动态规划-二维dp-2k+1个状态】
class Solution {
//dp[i][0] -- 没有操作
//下面j为奇数：买入；j为偶数：卖出 (j的范围：1~2k-1)
//dp[i][j] -- 第1~k次买入
//dp[i][j+1] -- 第1~k次卖出
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
int n=prices.size();
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2*k+1));
for(int j=1; j<2*k; j+=2)
dp[0][j]=-prices[0];
for(int i=1; i<n; i++)
{
for(int j=0; j<2*k; j+=2)
{
dp[i][j+1]=max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j]-prices[i]);
dp[i][j+2]=max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1]+prices[i]);
}
}
return dp[n-1][2*k];
}
};
cpp
//牛客
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1010, M=110;
int prices[N];
int f[N][M], g[N][M];
//f[i][j]:第i天结束后，完成了j次交易，此时处于"买入"状态下的最大利润
//g[i][j]:第i天结束后，完成了j次交易，此时处于"卖出"状态下的最大利润
int main()
{
int n, k;
cin >> n >> k;
for(int i=0; i<n; i++)
cin >> prices[i];
memset(f, -INF, sizeof(f));
memset(g, -INF, sizeof(g));
int res=0;
f[0][0]=-prices[0], g[0][0]=0;
for(int i=1; i<n; i++)
{
for(int j=0; j<=k; j++)
{
f[i][j]=max(f[i-1][j], g[i-1][j]-prices[i]);
g[i][j]=g[i-1][j];
if(j>0) g[i][j]=max(g[i][j], f[i-1][j-1]+prices[i]);
res=max(res, g[i][j]);
}
}
cout << res << endl;
return 0;
}
//值得学习的代码
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010, M = 110;
int n, k, p[N];
int f[N][M], g[N][M];
int main()
{
cin >> n >> k;
for(int i = 0; i < n; i++) cin >> p[i];
k = min(k, n / 2);
for(int j = 0; j <= k; j++) f[0][j] = g[0][j] = -0x3f3f3f3f;
f[0][0] = -p[0], g[0][0] = 0;
for(int i = 1; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j <= k; j++)
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - p[i]);
g[i][j] = g[i - 1][j];
if(j >= 1) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + p[i]);
}
}
int ret = 0;
for(int j = 0; j <= k; j++) ret = max(ret, g[n - 1][j]);
cout << ret << endl;
return 0;
}三、反思与改进
买卖股票这种类似有系列的题目，需要把核心知识点彻底弄熟。