目录
基础内容：
什么是动态规划，动态规划作为一种手段可以解决哪些问题，动态规划的分类，以及具体的分类可以解决的具体问题的分类。
动态规划：
是一个重要的算法范式，它将一个问题分解成一系列更小的子问题，并通过存储子问题解避免重复计算，从而大幅度提升时间效率。
动态规划理解的问题引入：
通过爬楼梯的案例来引入这个问题，给定一个共有n阶的楼梯，你每步可以上1阶或者2阶，请问有多少种方案可以爬到楼顶。
解析：（暴力回溯）
本题目的目标是求解方案数量，我们可以考虑通过回溯来穷举所有可能性。具体来说，将爬楼梯想象为一个多轮选择的过程：从地面出发，每轮选择上一阶或者二阶，每当达到楼梯顶部时就将方案数量加1，当越过楼梯顶部就将其剪枝。
代码示例：
python
# python代码示例
def backrack(choices,state,n,res) :
if state == n :
res[0] += 1
for choice in choices :
if state + choice > n :
continue
backrack(choices,state+choice,n,res)
def climbing_stairs_backrack(n) :
choices = [1,2]
state = 0
res = [0]
backrack(choices,state,n,res)
return res[0]
n = int(input())
print(climbing_stairs_backrack(n))
cpp
// c++代码示例
void backrack(vector<int> &choices, int state, int n, vector<int> &res)
{
if (state == n )
{
res[0]++ ;
}
for (auto &choice : choices)
{
if (state + choice > n)
{
continue ;
}
backrack(choices, state + choice, n, res)
}
}
int climbingStairsBackrack(int n)
{
vector<int> choices = {1 , 2 } ;
int state = 0 ;
vector<int> res = [0] ;
backrack(choices, state, n, res) ;
return res[0] ;
}暴力搜索：
回溯算法通常并不显式地对问题进行拆解，而是将问题看作一系列决策步骤，通过试探和剪枝，搜索所有可能的解。
我们可以尝试从问题分解的角度分析这道题。设爬到第i阶共有dp[i]中方案，那么dp[i]就是原问题，其子问题包括：
dp[i-1]，dp[i-2]，dp[1]，dp[2]
由于每轮只能上1阶或者2阶，因此当我们站在第i阶楼梯上时，上一轮只可能站在第i-1或者i-2台阶上。换句话说，我们只能从第i-1阶或者第i-2阶迈向第i阶。
由此便可以得出一个重要的推论：爬到第i-1阶的方案加上爬到第i-2阶的方案数就等于爬到第i阶的方案数。公式如下：
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
这就意味着，爬楼问题中存在着递推的关系，原问题可由子问题的解构建来得到解决
Dfs代码示例：（搜索）
python
# python 代码示例
def dfs(i : int) -> int :
if i == 1 or i == 2 :
return i
count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2)
return count
def climbing_stairs_dfs(n : int) -> int :
retunr dfs(n)
cpp
// c++ 代码示例
int dfs(int i)
{
if (i == 1 || i == 2)
{
return i ;
}
int count = dfs(i - 1) + dfs(i - 2);
return count ;
}
int climbingStairsDFS(int n)
{
retunr dfs(n) ;
}暴力递归产生的递归树：
解决上述递归树中的重复问题，采用记忆化搜索的方式，可以把大量重复构建的相同子树进行去掉，从而达到提高计算效率。（重叠子问题）
记忆化搜索：
将所有重叠的子问题只进行一遍计算，需要声明一个数组nem来记录每个子问题的解，并在搜索过程中将重叠子问题剪枝。
- 当首次计算dp[i]时，将其记录在nem[i]，便于后续的使用
- 当再次计算dp[i]时，直接在nem[i]中进行获取结果，避免重复子问题的计算。
代码示例：
python
# python 代码示例
def dfs(i : int, mem : list[int]) -> int :
if i == 1 or i == 2 :
return i
if mem[i] != -1 :
return mem[i]
count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem)
# 记录dfs(i)
mem[i] = count
return count
def climbing_stairs_dfs_mem(n : int) -> int :
mem = [-1] * (n + 1)
return dfs(n, mem)
cpp
// c++ 代码示例
int dfs(int i, vector<int> &mem)
{
if (i == 1 || i == 2)
{
return i ;
}
if (mem != -1)
{
return mem[i] ;
}
int count = dfs(i - 1, mem) + dfs(i - 2, mem) ;
mem[i] = count ;
return count ;
}
int climbingStairsDFSMem(int n)
{
vector<int> mem(n + 1, -1) ;
return dfs(n, mem) ;
}经过记忆化处理后，所有重叠的子问题都只计算一次，时间复杂度优化到了O(n)
动态规划：
记忆化搜索是一种"从顶至低"的方法，我们从原问题（根节点）开始，递归地将较大子问题分解成较小子问题，直至解已知的最小子问题（叶节点）。之后，通过回溯逐层收集子问题的解，构建出原问题的解。
与之相反，动态规划是一种"从底至顶"方法：从最小子问题的解开始，迭代地构建更大子问题的解，直至得到原问题的解。
由于动态规划不包含回溯过程，因此只需要使用循环迭代实现，无须使用递归。
代码示例：（动态规划，从最小子问题开始）
python
# python 代码示例
def clibing_stairs_dp(n) :
if n == 1 or n == 2 :
return n
dp = [0] * (n + 1)
dp[1], dp[2] = 1, 2
for i in range(3,n + 1) :
dp[i] = dp[i-1] + dp[i- 2]
return dp[n]
cpp
// c++ 代码示例
int climbingStairsDP(int n)
{
if (n == 1 || n == 2)
{
retunr n ;
}
vector<int> dp(n + 1, -1) ;
dp[1] = 1 ;
dp[2] = 2 ;
for (int i = 3 ; i <= n ; i++)
{
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i- 2] ;
}
return dp[n] ;
}执行过程（动态规划）：
解析：（动态规划）
相似于回溯算法，动态规划也使用"状态"概念来表示问题求解的特定阶段，每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例：爬楼梯问题的状态定义为当前所在楼梯的阶数i
根据以上内容，我们可以总结为动态术语的常用术语：
- 将数组dp称为{dp表}，dp[i]表示状态i对应子问题的解
- 将最小子问题对应的状态，（第一阶和第二阶楼梯）称为初始状态
- 将递推公式dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]称为状态方程
空间优化：
dp[i] 只跟 dp[i-1] 和 dp[i-2] 有关
无须使用一个数组来存储所有子问题的解，只需要两个变量滚动前进即可。
代码示例：
python
# python 代码示例
def clibing_stairs_dp_comp(n) :
if n == 1 or n == 2 :
return n
a, b = 1, 2
for _ in range(3, n + 1) :
a, b = b , a + b
return b
cpp
// c++ 代码示例
int climbingStairsComp(int n)
{
if (n == 1 || n == 2)
{
return n ;
}
int a = 1 , b = 2 ;
for (int i = 3 ; i <= n ; i++)
{
int temp = b ;
b = a + b ;
a = temp ;
}
return b ;
}解析：
省去了数组dp所占用的空间，空间复杂度由O(n)降为O(1)
在动态规划问题中，当前状态仅与前面有限个状态有关，这时我们可以只保留必要的状态，通过"降维"来节省内存空间**。这种空间优化技巧被称为"滚动变量"或"滚动数组"。**