Python面试宝典第14题：背包问题

题目

现有编号从 0 到 n - 1 的 n 个背包，给你两个下标从 0 开始的整数数组 capacity 和 rocks 。第 i 个背包最大可以装 capacity $i$ 块石头，当前已经装了 rocks $i$ 块石头（0 <= rocks $i$ <= capacity $i$ ）。另给你一个整数 additionalRocks ，表示你可以放置的额外石头数量，石头可以往任意背包中放置。

请你将额外的石头放入一些背包中，并返回放置后装满石头的背包的最大数量。

示例 1：

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输入：capacity = [2,3,4,5], rocks = [1,2,4,4], additionalRocks = 2
输出：3
解释：
1 块石头放入背包 0 ，1 块石头放入背包 1 。
每个背包中的石头总数是 [2,3,4,4] 。
背包 0 、背包 1 和 背包 2 都装满石头。
总计 3 个背包装满石头，所以返回 3 。

示例 2：

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输入：capacity = [10,2,2], rocks = [2,2,0], additionalRocks = 100
输出：3
解释：
8 块石头放入背包 0 ，2 块石头放入背包 2 。
每个背包中的石头总数是 [10,2,2] 。
背包 0 、背包 1 和背包 2 都装满石头。
总计 3 个背包装满石头，所以返回 3 。

贪心算法

贪心算法在本题中可以有效工作，因为我们的目标是最小化未被充分利用的空间，从而最大化装满石头的背包数量。使用贪心算法求解本题的主要步骤如下。

1、计算每个背包还能装多少石头。对于每个背包 i，计算其剩余容量 capacity $i$ - rocks $i$ 。

2、按剩余容量升序排序。将所有背包按照它们还能装下的石头数量从小到大排序，这样我们可以优先考虑那些接近装满的背包，以达到尽快填满背包（也即是"贪心"）的目的。

3、分配额外的石头。遍历排序后的背包列表，从剩余容量最小的背包开始，尽可能多地向每个背包中添加石头，直到额外的石头用完。

根据上面的算法步骤，我们可以得出下面的示例代码。

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def maximum_bags_by_greedy(capacity, rocks, additionalRocks):
    # 计算每个背包的剩余容量
    remaining_capacity = [cap - rock for cap, rock in zip(capacity, rocks)]
    
    # 按剩余容量升序排序
    remaining_capacity.sort()
    
    # 分配额外的石头并计数装满的背包
    filled_bags = 0
    for space in remaining_capacity:
        if additionalRocks >= space:
            additionalRocks -= space
            filled_bags += 1
        else:
            # 如果石头不够填满当前背包，则停止分配
            break
    
    return filled_bags

capacity = [2, 3, 4, 5]
rocks = [1, 2, 4, 4]
additionalRocks = 2
print(maximum_bags_by_greedy(capacity, rocks, additionalRocks))

capacity = [10, 2, 2]
rocks = [2, 2, 0]
additionalRocks = 100
print(maximum_bags_by_greedy(capacity, rocks, additionalRocks))

总结

使用贪心算法求解本题时，排序操作是时间复杂度的主要来源。假设n是背包的数量，使用快速排序等常见排序算法的平均时间复杂度为O(n*log(n))。遍历排序后的列表，这一过程的时间复杂度为O(n)。因此，总的时间复杂度为O(n*log(n))。除了输入数据外，主要的额外空间用于存储排序后的索引或直接在原地排序，因此空间复杂度为O(1)或O(log(n))。

本题使用贪心算法的逻辑直接明了，容易理解和实现。尽管需要排序，但整体时间复杂度相对较低，特别是对于大数据集，排序后的一次遍历即可完成计算。在某些特定情况下，贪心策略可能不会得到全局最优解。但在这个背包问题中，由于问题的特性，贪心策略恰好可以达到最优解。