P10287 [GESP样题 七级] 最长不下降子序列 题解
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题目描述
小杨有个包含 n n n 个节点 m m m 条边的有向无环图，其中节点的编号为 1 1 1 到 n n n。
对于编号为 i i i 的节点，其权值为 w i w_i wi。对于图中的一条路径，根据路径上的经过节点的先后顺序可以得到一个节点权值的序列，小杨想知道图中所有可能序列中最长不下降子序列的最大长度。
注：给定一个序列 S S S，其最长不下降子序列 S ′ S' S′ 是原序列中的如下子序列：整个子序列 S ′ S' S′ 单调不降，并且是序列中最长的单调不降子序列。例如，给定序列 S = [ 11 , 12 , 13 , 9 , 8 , 17 , 19 ] S = [11,12,13,9,8,17,19] S=[11,12,13,9,8,17,19]，其最长不下降子序列为 S ′ = [ 11 , 12 , 13 , 17 , 19 ] S'=[11,12,13,17,19] S′=[11,12,13,17,19]，长度为 5 5 5。
输入格式
第一行包含两个正整数 n , m n,m n,m，表示节点数和边数。
第二行包含 n n n个正整数 A 1 , A 2 , ... A n A_1, A_2, \dots A_n A1,A2,...An，表示节点 1 1 1 到 n n n 的点权。
之后 m m m 行每行包含两个正整数 u i , v i u_i, v_i ui,vi，表示第 i i i 条边连接节点 u i u_i ui 和 v i v_i vi，方向为从 u i u_i ui 到 v i v_i vi。
输出格式
输出一行一个整数表示答案。
样例 #1
样例输入 #1
5 4
2 10 6 3 1
5 2
2 3
3 1
1 4
样例输出 #1
3
样例 #2
样例输入 #2
6 11
1 1 2 1 1 2
3 2
3 1
5 3
4 2
2 6
3 6
1 6
4 6
1 2
5 1
5 4
样例输出 #2
4
样例 #3
样例输入 #3
6 11
5 9 10 5 1 6
5 4
5 2
4 2
3 1
5 3
6 1
4 1
4 3
5 1
2 3
2 1
样例输出 #3
4
提示
数据规模与约定
| 子任务 | 分值 | n ≤ n\le n≤ | A i ≤ A_i \le Ai≤ | 特殊约定 |
|---|---|---|---|---|
| 1 1 1 | 30 30 30 | 1 0 3 10^3 103 | 10 10 10 | 输入的图是一条链 |
| 2 2 2 | 30 30 30 | 1 0 5 10^5 105 | 2 2 2 | 无 |
| 3 3 3 | 40 40 40 | 1 0 5 10^5 105 | 10 10 10 | 无 |
对全部的测试数据，保证 1 ≤ n ≤ 1 0 5 1 \leq n \leq 10^5 1≤n≤105， 1 ≤ m ≤ 1 0 5 1 \leq m \leq 10^5 1≤m≤105， 1 ≤ A i ≤ 10 1 \leq A_i \leq 10 1≤Ai≤10。
解题思路
提示：这是一道对初学者来说比较有难度的图上 dp，不理解的话可以在草稿纸上模拟一下，这样会更易懂一些。
看到题目，肯定是图论+dp的题。看到"路径上的经过节点的先后顺序"这句话，就知道要用拓扑排序。
然后，根据拓扑序，对每条边进行动态规划。但直接设 f [ i ] f[i] f[i] 表示以 i i i 结尾的 LIS 长度，每遇到一条边就更新一次。这样时间复杂度是 O ( n m ) O(nm) O(nm) 的，会超时。
然后观察题目的"弱点"： 1 ≤ A [ i ] ≤ 10 1 \le A[i] \le 10 1≤A[i]≤10，这么小？于是，第二种 LIS 思路来了：设 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 表示从某处到点 i i i，结尾数为 j j j 的LIS长度。
然后转移来了（重点）：对于 v v v 的某个前驱节点 u u u：
- 将点 v v v 加到点 u u u 的 LIS 后面。 f [ v ] [ A [ i ] ] = m a x { f [ u ] [ i ] + 1 , f [ v ] [ A [ i ] ] } f[v][A[i]]=max\{f[u][i]+1, f[v][A[i]]\} f[v][A[i]]=max{f[u][i]+1,f[v][A[i]]}，其中 1 ≤ i ≤ A [ u ] 1 \le i \le A[u] 1≤i≤A[u]
- 用 u u u 替换点 v v v，也可能得到更优的答案。 f [ v ] [ i ] = m a x { f [ u ] [ i ] , f [ v ] [ i ] } f[v][i]=max\{f[u][i], f[v][i]\} f[v][i]=max{f[u][i],f[v][i]}，其中 1 ≤ i ≤ 10 1 \le i \le10 1≤i≤10。
最后答案：所有 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j] 的最大值。保证 1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ 10 1 \le i \le n, 1 \le j \le 10 1≤i≤n,1≤j≤10。
AC Code
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 7;
int n, m, A[maxn], ind[maxn]; // ind[i]表示节点i的入度
int f[maxn][15];
vector <int> G[maxn]; // 存图
void solve()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> A[i];
for(int u, v, i = 1; i <= m; i ++){
cin >> u >> v;
G[u].push_back(v);
++ ind[v]; // 入度+1
}
queue <int> Q; // 拓扑排序的队列
for(int i = 1; i <= n; i ++){
if(ind[i] == 0) Q.push(i);
f[i][A[i]] = 1; // 初始化：到点i以A[i]结尾的LIS长度为1（就是点i自己）
}
while(!Q.empty()){
int u = Q.front(); Q.pop();
for(int v : G[u]){
-- ind[v];
if(ind[v] == 0){
Q.push(v); // 入度变为0，入队
}
// dp转移
for(int i = 1; i <= A[v]; i ++){
f[v][A[v]] = max(f[u][i] + 1, f[v][A[v]]);
}
for(int i = 1; i <= 10; i ++){
f[v][i] = max(f[u][i], f[v][i]);
}
}
}
// 求所有答案的最大值
int maxn = -1e9;
for(int i = 1; i <= n; i ++){
for(int j = 1; j <= 10; j ++) maxn = max(maxn, f[i][j]);
}
cout << maxn << '\n';
}
signed main()
{
ios :: sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
solve();
return 0;
}End
感谢大家的观看！祝大家 AC！
这里是 YLCHUP，拜拜ヾ(•ω•`)o