数学基础【俗说矩阵】:初等矩阵和矩阵的初等行变化关系推导

初等矩阵和矩阵的初等行变换

初等矩阵

  • 矩阵的初等行变换

  • 对单位阵E进行一次初等行变化得到的阵叫做初等阵

这里只能进行一次初等行变换。

置换阵

  • 给矩阵【左乘】一个【置换阵】,相当与对该矩阵进行了一次【置换阵】对应的【置换】初等行变换;

数乘阵

  • 给矩阵【左乘】一个【数乘阵】,相当于对该矩阵进行了一个【数乘阵】对应的【数乘】初等行变换;

倍加阵

  • 给一个矩阵【左乘】一个【倍加阵】,相当于给改矩阵进行了一次【倍加阵】对应的【倍加】初等行变换;

结论:

  • 给矩阵进行一次初等行变化,就相当于对该矩阵左乘了一个对应的初等阵。

初等矩阵与初等行变换的推导关系

初等矩阵与初等行变换的推导过程

一、矩阵A进行一次【数乘】的初等行变化,相当于对矩阵A【左乘】了一个【数乘阵】得到A1。

二、对矩阵A1进行一次【置换】初等行变换,相当于对矩阵A1【左乘】了一个【置换阵】得到A2。把得到A1和得到A2对应的【左乘】的两个【初等阵】进行展开列举。

由于矩阵相乘具备结合律,因此把左侧【左乘】的两个【初等阵】(【数乘阵】和【置换阵】)先相乘,就得到了一个新的矩阵与A相乘,就得到了并A表达的A2。

三、给矩阵A2进行一次【倍加】操作,相当于给矩阵A2【左乘】了一个【倍加阵】得到A3。把刚才得到A2中使用的【左乘】的【初等阵】与现在的【倍加阵】展开列举,并使用结合律进行相乘,就得到了用A表达的A3。

由于矩阵相乘具备结合律,因此把左侧【左乘】的两个【初等阵】(【倍加阵】和得到A2的【初等阵】)先相乘,就得到了一个新的矩阵与A相乘。

四、同样的把矩阵A3进行一次【倍加】初等行变换,就相当于对矩阵A3【左乘】了一个【倍加阵】,得到A4。同时把得到A3的阵和得到A4的【倍加阵】进行展开,借用矩阵的结合律就得到了用A表示的矩阵A4。

五、利用同样的步骤可以得到A5的【左乘】乘法表达和A6的矩阵乘法表达。

A6就是最后的阶梯矩阵。

A5的矩阵乘法表达:

A6的矩阵乘法表达:

初等矩阵与初等行变换的推导结论

  • 矩阵经过据此【初等行变换】成为另一个矩阵,相当于给该矩阵【左乘】一个【行变换矩阵】。
  • 【行变换矩阵】是由若个【初等阵】一次相乘而得到。初等矩阵的内容和顺序对应初等行变换的倒序。
  • 也就是说最开始进行【初等行变换】对应的【初等矩阵】越接近A,越往后的【初等行变换】对应的【初等矩阵】越远离A。
  • 对【单位阵】进行一次【初等行变换】得到的这些【初等阵】具有十分重要的意义,是对后续学习【矩阵求逆】和【LU分解】的重要基础

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