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Question:
4. 多重背包问题 I - AcWing题库
https://www.acwing.com/problem/content/description/4/
多重背包简单来说其实就是一个背包问题的变式，到底可以怎么去理解多重背包呢，说白了其实就是01背包和完全背包的结合，主要的优化方法就是二进制分组优化，单调队列优化方法
思路解析：
我们到底该怎么去理解转化呢，我们可以这样去思考问题，同一件物品可以重复去拿，10个相同的苹果体积为2价值为3，我们可以看成一个大苹果，体积为10*2，价值为10*3，此时就转化成了完全问题，选还是不选的问题，此时的选与不选是要在同一种物品的不同个体间做选择，直至我们的背包无法装下我们的这种物品。（此时的对于转化成完全的限制条件又是什么呢，我们只需要考虑我们的物品的 数量 * 体积 >= 背包的总体积，就可以转化成完全背包问题，我们可以在同种物品的不同个体间进行选择）；对于 数量 * 体积 < 背包的体积，我们又该如何去考虑呢，我们可以这样子去思考，如果我们可以将相同的很多件物品看作一件，这不就转化成了0-1背包问题嘛，此时我们需要取枚举，我们实际需要拿多少个K，也就是所谓的当前背包的体积J > K * V[I]，我们就可以全部的K装进背包。
（针对于代码间的问题说明，我们均采用了空间优化的方法，对于0-1背包而言我们需要考虑覆盖问题，但是完全背包不需要考虑）
代码示例
cpp
// c++ 代码示例
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std ;
const int MAXN = 101 ;
int n, V ;
int v[MAXN], w[MAXN], s[MAXN] ;
int f[MAXN] ;
int main()
{
// 获取基本的输入
cin >> n >> V ;
for (int i = 1 i <= n ; i++)
{
cin >> v[i] >> w[i] >> s[i] ;
}
// 以下代码均是空间优化后的
// 0-1背包和完全背包的转化过程思想，遍历每一种物品
for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
{
if (s[i] * v[i] >= V)
{
for (int j = v[i] ; j <= V ; j++)
{
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]) ;
}
}
// 0-1背包
else
{
for (int j = V ; j >= v[i] ; j--)
{
for (int k = s[i] ; k >= 0 ; k--)
{
if (j >= k * v[i])
{
f[j] = max(f[j], f[j - k * v[i]] + k * w[i]) ;
}
}
}
}
}
cout << f[V] ;
return 0 ;
}
python
# python 代码示例
n,V = map(int,input().split())
v = [0] * (101 + 1)
w = [0] * (101 + 1)
s = [0] * (101 + 1)
f = [0] * (101 + 1)
for i in range(1, n + 1) :
v[i], w[i], s[i] = map(int, input().split())
for i in range(1, n + 1) :
if (s[i] * v[i] >= V) :
for j in range(v[i], V + 1) :
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i])
else :
for j in range(V, v[i] - 1, -1) :
for k in range(s[i], -1, -1) :
if (j >= k * v[i]) :
f[j] = max(f[j], f[j - k * v[i]] + k * w[i])
print(f[V])基本思想:比如第i件物品有s个,我可以把相同种类 的物品的进行合并,比如我拿出两件合并出一个新的物品,我拿出三件合并出一个新的物品,以此类推,我拿出s个合并出一个新的物品。基于这种思想,我们把第i件的s个物品转换为s种体积各不相同的物品,然后在用01背包的思想,求出最优解!
cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std ;
int N, V ;
int dp[1010] ;
int main()
{
cin >> N >> V ;
int v, w, s ;
for (int i = 1 ; i <= N ; i++)
{
cin >> v >> w >> s ;
for (int j = V ; j > 0 ; j--)
{
for (int k = 1 ; k <= s && k * v <= j ; k++)
{
dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * v] + k * w) ;
}
}
}
cout << dp[V] ;
return 0 ;
}
多重背包的优化问题：
1.二进制优化
5. 多重背包问题 II - AcWing题库https://www.acwing.com/problem/content/5/
原理:
一个数字，我们可以按照二进制来分解为1 + 2 + 4 + 8 ...... +2^n + 余数
十进制数字7,可以从二进制100,010,001做加和得到即111,001为1,010为2,100为4,也就是1、2、4,用1、2、4可以表示1~7中任意一个数。
再比如,10,可以分为1,2,4,3这个三是怎么来的呢? 3就是余数!
通过上述原理,我们可以把第i件物品的s件,按二进制思想分为1,2,4...到剩余。这样从复杂度为s,降到了(log2S)。时间复杂度为O(V*Σlog n[i])。
代码示例：
cpp
// c++代码示例
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std ;
const int MAXN = 1e5 + 10 ;
int n , V ;
int v[MAXN], w[MAXN] ;
int f[MAXN] ;
int main()
{
cin >> n >> V ;
int cnt = 0 ;
for (int i = 1 , a, b, s ; i <= n; i++)
{
cin >> a >> b >> s ;
int k = 1 ;
while (k <= s)
{
v[++cnt] = k * a ;
w[cnt] = k * b ;
s -= k ;
k *= 2 ;
}
if (s)
{
v[++cnt] = s * a ;
w[cnt] = s * b ;
}
}
for (int i = 1 ; i <= cnt ; i++)
{
for (int j = V ; j >= v[i] ; j--)
{
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]) ;
}
}
cout << f[V] ;
return 0 ;
}
cpp
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std ;
const int maxn = 6e3 + 10 ;
int n , m , ans ;
int f[maxn] ;
int main()
{
cin >> n >> m ;
for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
{
int v, w, s ;
cin >> v >> w >> s ;
for (int k = 1 ; k <= s ; k *= 2)
{
for (int j = m ; j >= k * v ; j--)
{
f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w) ;
}
s -= k ;
}
if (s)
{
for (int j = m ; j >= s*v ; j--)
{
f[j] = max(f[j], f[j - s * v] + s * w) ;
}
}
}
cout << f[m] ;
return 0 ;
}
2.单调队列优化(滑动窗口)
6. 多重背包问题 III - AcWing题库https://www.acwing.com/problem/content/6/
利用单调队列优化动态规划的状态转移过程。它通过维护一个单调递减的队列，确保在每次状态转移时可以高效地找到最优的前驱状态，从而减少时间复杂度。
我们可以这样理解这个问题，就是每一次拿到该种类的物品的时候，就把这种物品的思考为0-v-1的单调队列，然后利用双指针维护最优解，需要考虑窗口维护的时候，我们要知道单调队列里里面存储到底是什么其实是j , j + v , j + 2 * v......等，到最后进行维护的便是这个单调队列，最优解是{ f [j], f [j+v], f [j+2*v], f [j+3*v], ... , f [j+k*v] } 中的最大值，稍微转化一下f [j+k*v] = max( f [j], f[j+v] - w,..., f [j+k*v] - k*w) + k*w，我们就可以通过一个中介数组进行动态更新了。q数组 中保存了上述写的 当 f [j+k*v] - k*w 最大时的下标， 入队前如果队首不在滑动窗口内，队首出队 ，每次入队元素如果比队列中元素大，就弹出队尾。
代码示例
cpp// c++ 代码示例 #include <iostream> #include <algorithm> #include <string.h> using namespace std ; const int MAXN = 20010 ; int n ,f[MAXN], q[MAXN], pre[MAXN]; int main() { int n, V ; cin >> n >> V ; for (int i = 1, v ,w ,s ; i <= n ; i++) { cin >> v >> w >> s ; memcpy(pre, f, sizeof(f)) ; for (int j = 0 ; j < v ; j++) { int hh = 0 , tt = -1 ; for (int t = j ; t <=V ; t += v) { if (hh <= tt && t - s * v > q[hh]) { hh++ ; } while (hh <= tt && pre[q[tt]] - (q[tt] - j) / v * w <= pre[t] - (t - j) / v * w) { tt-- ; } if (hh <= tt) { f[t] = max(f[t], pre[q[hh]] + (t - q[hh]) / v * w) ; } q[++tt] = t ; } } } cout << f[V] ; return 0 ; }
