【动态规划、dp】P1091 [NOIP2004 提高组] 合唱队形 题解

题意

n n n 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 n − k n−k n−k 位同学出列，使得剩下的 k k k 位同学排成合唱队形。

合唱队形是指这样的一种队形：设 k k k 位同学从左到右依次编号为 1 , 2 , ... , k 1,2, ...,k 1,2,...,k，他们的身高分别为 t 1 , t 2 , ... , t k t_1 ,t_2 ,\dots ,t_k t1,t2,...,tk ，则他们的身高满足 t 1 < ⋯ < t i > t i + 1 > t k ( 1 ≤ i ≤ k ) t_1 <⋯<t_i>t_{i+1}>t_k (1≤i≤k) t1<⋯<ti>ti+1>tk(1≤i≤k)。

你的任务是，已知所有 n n n 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

思路

题目其实就是要求 k k k 最大。即在 n n n 个数中找到 k k k 个数，使得前半段单调递增，后半段单调递减。

记 u p i up_i upi 表示以 i i i 个数为结尾的最长上升子序列长度，则 u p i = max ⁡ j = 1 i u p j + 1 ( a i > a j ) up_i = \max_{j = 1}^{i}up_j + 1(a_i > a_j) upi=maxj=1iupj+1(ai>aj)，同理可以处理 d o w n i down_i downi。则要想让 k k k 最大，就是让 u p i + d o w n i up_i + down_i upi+downi 最大，找到最大的 u p i + d o w n i up_i + down_i upi+downi， k = u p i + d o w n i − 1 k = up_i + down_i - 1 k=upi+downi−1。（第 i i i 个点被统计两次），最后别忘了输出的是 n − k n-k n−k。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,a[105],up[105],down[105];
signed main() {
	scanf("%lld",&n);
	for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	for(int i = 1;i <= n;i++) {
		up[i] = 1;
		for(int j = 1;j < i;j++) {
			if(a[j] < a[i]) up[i] = max(up[i],up[j] + 1);
		}
	}
	for(int i = n;i >= 1;i--) {
		down[i] = 1;
		for(int j = n;j > i;j--) {
			if(a[j] < a[i]) down[i] = max(down[i],down[j] + 1);
		}
	}
	int ans = -1e18;
	for(int i = 1;i <= n;i++) ans = max(ans,up[i] + down[i] - 1);
	printf("%lld\n",n - ans);
    return 0;
}