力扣每日一题-08.22

题目描述

给定两个整数 n 和 x，要求构造一个长度为 n 的正整数数组 nums，其中：

数组中的所有元素是严格递增的。
数组中的所有元素按位与的结果等于 x。

返回数组 nums 中最后一个元素的最小值。

题目分析与思路

1. 初始思路：

题目要求构造一个严格递增的数组，同时满足数组中的所有元素按位与的结果为 x。

如果所有数组元素的按位与结果要等于 x ，那么每个元素的二进制形式中的那些与 x 的二进制表示匹配的位 必须和 x一致。这意味着：
- 在 x 的二进制中为**1** 的位置上，数组中每个元素 的对应位置也必须为 1。
- 对于 x 中为**0**的位，这些位可能在数组的某些元素中出现不同的值。

2. 分析递增的条件：

要构造递增的数组，需要确保每一步都使得数组中的元素变大，而不改变最终的按位与结果。
我们通过逐位更新数组中的元素来确保递增性。

3. 控制操作步数：

n 表示数组的长度，而 n - 1 表示我们有多少步需要操作。我们可以通过检查 n - 1 的二进制位来控制具体的操作步骤，确保我们在 n-1 步内完成所有必要的递增操作。

4. 位运算的使用：

我们通过位运算来控制更新哪些位，以及如何更新。
- m = n - 1：m 的二进制表示告诉我们哪些位可以用于更新。
- while 循环：我们通过逐步检查 ans 中的位，找到第一个可以安全更新的 0 位。
- |= 操作：用于将 m 中的位安全地添加到 ans 中的合适位置。

题解步骤

初始化：
- 我们从 x 开始，将其作为 ans 的初始值，因为我们要求最终的按位与结果必须等于 x。
- m = n - 1：表示我们有 n-1 次步骤来调整 ans 的值。
逐步更新 ans：
- 使用位运算逐步检查 m 的每一位，并决定是否对 ans 进行更新。
- while 循环用于确保我们找到 ans 中第一个可以更新的位。
- |= 操作用于将 m 的当前位合并到 ans 中，确保 ans 递增。
返回结果：
- 最终更新后的 ans 即为满足条件的最小值。

代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public long minEnd(int n, int x) {
        long ans = x;  // 初始化 ans 为 x
        int m = n - 1;  // m 表示剩余的操作步数
        for (long i = 1, offset = 0; i <= m; i <<= 1) {
            // 找到 ans 中的第一个 0 位
            while ((ans & (i << offset)) > 0) {
                offset++;
            }
            // 更新 ans 的值
            ans |= (m & i) << offset;
        }
        return ans;  // 返回最终的结果
    }
}

题解分析

位运算的使用：
- 位运算在这道题中至关重要。我们通过 m & i 来检查是否可以对 ans 进行更新，并通过 |= 操作来确保 ans 的递增性。（有点难懂，后面会详细说明）
m 的作用：
- m 控制了我们能够进行的操作步数，m 的每一位决定了当前步骤是否可以更新 ans 的某一位。
递增的保证：
- while 循环确保我们总是找到 ans 中（从低位向高位）第一个 0 位 ，并将其更新为1，从而确保 ans 是递增的。
复杂度分析：
- 由于我们逐位检查 m 和 ans 的位，时间复杂度与 n 和 x 的位数相关，复杂度为 O(log n)。
- 空间复杂度较低，仅使用了几个辅助变量，因此空间复杂度为 O(1)。

关键知识点

位运算：
- &：按位与，用于逐位检查二进制位。
- |=：按位或，用于将一个位设置为 1。
- <<：左移运算，用于将位掩码 i 移动到合适的位置。
递增性：
- 通过检查 ans 中的 0 位并逐步更新，确保生成的 ans 是递增的。
控制操作步骤：
- 使用 m = n - 1 的二进制位来控制在 n-1 步内完成所有必要的位更新。

说白了，要明白的是这道题的主要步骤就是找x的二进制中从低位到高位的0然后改为1.

那，如何找0？如何改值？如何判断已经结束需要返回？

1. 如何找 `x` 的二进制中从低位到高位的 `0`？

在这道题中，我们要从 x 的二进制表示中找到第一个可以更新为 1 的位置（即第一个 0 位），从而确保数组递增。这个过程可以通过以下步骤完成：

位运算的使用：我们通过逐位检查x的每一位，利用&和<<来找到第一个0位。具体操作是：
- ans & (1 << offset)：我们从 offset = 0 开始，检查 ans 的第 offset 位。如果 ans 在该位为 1，则说明这一位已经被占用，我们不能在这一位上进行更新。
- while 循环 ：如果当前位已经为 1，我们递增 offset，继续检查下一位，找到 ans 中的第一个为 0 的位。

2. 如何将 `0` 改为 `1`？

找到 0 位后，我们需要将其更新为 1。这个操作通过以下步骤完成：

按位或 |= 操作：当找到第一个0位时，我们可以使用按位或操作将其更新为1：
- (m & i) << offset：这里 m & i 的结果是 1（即我们要将某一位更新为 1）。通过左移 offset 位，我们将这一位放到合适的位置（即 0 位）。
- ans |= (m & i) << offset ：这一步将 m 中的某一位合并到 ans 中的第 offset 位，从而将 0 更新为 1。

3. 如何判断已经结束，需要返回结果？

结束条件非常简单：当我们完成了所有的 n - 1 步操作，成功找到了所有合适的 0 位并将其更新为 1 后，ans 就是最终的结果。这是因为我们已经确保 ans 是递增的，且满足按位与结果为 x 的条件。

循环控制 ：for (long i = 1, offset = 0; i <= m; i <<= 1) 这个循环控制了我们逐步检查和更新 ans 的过程，直到完成所有的 n - 1 次操作。
返回结果 ：当循环结束时，ans 已经更新到正确的值，我们直接返回 ans 作为最终结果。

是否检测了 `n-1` 次操作？

并不是直接检测 n-1 次操作，而是通过 m = n - 1 来间接控制操作次数。m 的二进制位控制了哪些步骤需要执行，而 offset 控制的是在哪些位置进行这些步骤。

更详细的解释：

m = n - 1：它的二进制位表示我们在执行 n-1 个操作。通过检测 m 的每一位是否为 1，我们确定是否需要在 ans 的某个位置进行更新。
while 循环中 offset 的作用：offset 的递增和检查帮助我们找到 ans 中的某个 0 位。这是我们准备将其更新为 1 的位置，以确保 ans 的递增性。
- while 循环不断递增 offset，直到找到一个可以安全设置为 1 的位置。

示例：如何通过这些步骤找到并更新 `0` 位

让我们通过一个简单的例子来进一步说明如何找到 0 位并将其更新为 1。

输入示例：

n = 3
x = 4

操作步骤：

初始化：
- ans = x = 4，二进制为 100。
- m = n - 1 = 2，二进制为 10。
第一步操作：
- i = 1（二进制为 1），从最低位开始检查。
- while 循环 ：检查 ans 的第 0 位，ans & (1 << 0) = 0。第 0 位为 0，可以更新。
- 更新：ans |= 1 << 0，即将第 0 位从 0 更新为 1。
- 更新后的 ans = 5，二进制为 101。
第二步操作：
- i = 2（二进制为 10），检查 m 的下一位。
- while 循环 ：检查 ans 的第 1 位，ans & (1 << 1) = 0。第 1 位为 0，可以更新。
- 更新：ans |= 2 << 1，即将第 1 位从 0 更新为 1。
- 更新后的 ans = 6，二进制为 110。
结束并返回：
- 操作完 n - 1 次后，ans 最终值为 6，这是符合条件的最小递增值。